У скольких девятизначных чисел все цифры различны сумма каждая пары соседних цифр нечётна а само число делится на 4? Сколько таких чисел???

Задача требует посчитать 9-значные числа с различными цифрами, сумма каждой пары соседних цифр нечётна и число делится на 4. Пошагово: 1) Сумма соседних цифр нечётна означает, что соседние цифрыmust иметь разные пары: четная и нечетная чередуются. То есть возможны две схемы чередования: - ОЕОЕОЕОЕ (начинается с нечетной) - ЕОЕОЕОЕО (начинается с четной) 2) Число делится на 4 тогда, когда последняя пара цифр образует число, кратное 4. В последней паре: - Если число начинается с нечетной (O-start), то последняя цифра будет нечетной, а число, кратное 4, заканчивается чётной цифрой. Это невозможно. Значит O-start не даёт решений. - Значит остаётся только начальная схема ЕОЕОЕОЕО. 3) Следствие схемы ЕОЕОЕОЕО: - Все пять чётных цифр 0, 2, 4, 6, 8 должны быть использованы на позициях 1,3,5,7,9. - На позициях 2,4,6,8 должны быть выбраны четыре нечетные цифры из {1,3,5,7,9} (одна нечетная цифра остаётся не использованной). 4) Ограничение по последним двум цифрам для кратности 4: - Последние две цифры — a8 (нечётная) и a9 (чётная). - Для кратности 4 формула 10*a8 + a9 ≡ 0 (mod 4) эквивалентна 2*a8 + a9 ≡ 0 (mod 4). - Так как a8 нечётная, 2*a8 ≡ 2 (mod 4). Значит a9 ≡ 2 (mod 4). - Чётные цифры, которые ≡ 2 (mod 4), это {2, 6}. Значит a9 может быть только 2 или 6. Два варианта. 5) Варианты размещения чётных цифр (для позиций 1,3,5,7,9): - Сфиксируем a9 = 2. Тогда оставшиеся чётные цифры для позиций 1,3,5,7: {0,4,6,8}. Нужно разместить их так, чтобы a1 ≠ 0 (первая цифра не может быть 0). Общее число размещений без учёта ограничения равно 4! = 24. Из них с a1 = 0 остаётся 3! = 6, значит допустимо 24 − 6 = 18 вариантов. - Сфиксируем a9 = 6. Тогда оставшиеся чётные цифры: {0,2,4,8}. Аналогично получается 18 допустимых размещений. - Всего placements для чётных = 18 + 18 = 36. 6) Размещение нечётных цифр на позициях 2,4,6,8: - Нужно выбрать 4 из 5 нечетных и расставить их по четырём позициям. Это число P(5,4) = 5·4·3·2 = 120. 7) Общее число таких чисел: - 36 вариантов для чётных цифр × 120 вариантов для нечётных цифр = 4320. Ответ: 4320 таких чисел.