У скольких девятизначных чисел все цифры различны сумма каждая пары соседних цифр нечётна а само число делится на 4? Сколько таких чисел???

Задача требует посчитать 9-значные числа с различными цифрами, сумма каждой пары соседних цифр нечётна и число делится на 4.

Пошагово:

1. Сумма соседних цифр нечётна означает, что соседние цифрыmust иметь разные пары: четная и нечетная чередуются. То есть возможны две схемы чередования:

   • ОЕОЕОЕОЕ (начинается с нечетной)
   • ЕОЕОЕОЕО (начинается с четной)

2. Число делится на 4 тогда, когда последняя пара цифр образует число, кратное 4. В последней паре:

   • Если число начинается с нечетной (O-start), то последняя цифра будет нечетной, а число, кратное 4, заканчивается чётной цифрой. Это невозможно. Значит O-start не даёт решений.
   • Значит остаётся только начальная схема ЕОЕОЕОЕО.

3. Следствие схемы ЕОЕОЕОЕО:

   • Все пять чётных цифр 0, 2, 4, 6, 8 должны быть использованы на позициях 1,3,5,7,9.
   • На позициях 2,4,6,8 должны быть выбраны четыре нечетные цифры из {1,3,5,7,9} (одна нечетная цифра остаётся не использованной).

4. Ограничение по последним двум цифрам для кратности 4:

   • Последние две цифры — a8 (нечётная) и a9 (чётная).
   • Для кратности 4 формула 10a8 + a9 ≡ 0 (mod 4) эквивалентна 2a8 + a9 ≡ 0 (mod 4).
   • Так как a8 нечётная, 2*a8 ≡ 2 (mod 4). Значит a9 ≡ 2 (mod 4).
   • Чётные цифры, которые ≡ 2 (mod 4), это {2, 6}. Значит a9 может быть только 2 или 6. Два варианта.

5. Варианты размещения чётных цифр (для позиций 1,3,5,7,9):

   • Сфиксируем a9 = 2. Тогда оставшиеся чётные цифры для позиций 1,3,5,7: {0,4,6,8}. Нужно разместить их так, чтобы a1 ≠ 0 (первая цифра не может быть 0). Общее число размещений без учёта ограничения равно 4! = 24. Из них с a1 = 0 остаётся 3! = 6, значит допустимо 24 − 6 = 18 вариантов.
   • Сфиксируем a9 = 6. Тогда оставшиеся чётные цифры: {0,2,4,8}. Аналогично получается 18 допустимых размещений.
   • Всего placements для чётных = 18 + 18 = 36.

6. Размещение нечётных цифр на позициях 2,4,6,8:

   • Нужно выбрать 4 из 5 нечетных и расставить их по четырём позициям. Это число P(5,4) = 5·4·3·2 = 120.

7. Общее число таких чисел:

   • 36 вариантов для чётных цифр × 120 вариантов для нечётных цифр = 4320.

Ответ: 4320 таких чисел.