формула дискриминанта?
Кратко: для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 (а ≠ 0) дискриминант равен Δ = b^2 - 4ac. Он показывает, сколько и какие корни уравнения есть, и появляется в формуле корней x = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a).
Пошаговый вывод формулы через метод “дополнения квадрата”
- Шаг 1. Пусть ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.
- Шаг 2. Разделим на a: x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0.
- Шаг 3. Перенесём свободный член: x^2 + (b/a)x = -c/a.
- Шаг 4. Добавим квадрат половины коэффициента при x: (b/2a)^2 к обеим сторонам. Получим: x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2.
- Шаг 5. Левая часть становится квадратом бинома: (x + b/2a)^2.
- Шаг 6. Правая часть упрощается до Δ/(4a^2), где Δ = b^2 - 4ac. То есть: (x + b/2a)^2 = Δ/(4a^2).
- Шаг 7. Взяв квадратные корни: x + b/2a = ± sqrt(Δ) / (2a).
- Шаг 8. Перепишем: x = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a).
Значение и трактовка дискриминанта
- Δ > 0: два действительных разных корня.
- Δ = 0: один двойной корень (уравнение имеет один корень с кратностью 2).
- Δ < 0: два комплексных корня (не действительные, но сопряжённые).
Важно помнить
- Формула корней и дискриминант применимы только к квадратному уравнению с a ≠ 0. Если a = 0, то это линейное уравнение bx + c = 0; решение x = -c/b (при b ≠ 0). Если b = c = 0, то решения бесконечны (уравнение 0 = 0); если b = 0, c ≠ 0 — решений нет.
Примеры
Пример 1: 3x^2 - 12x + 5 = 0 a = 3, b = -12, c = 5. Δ = (-12)^2 - 4·3·5 = 144 - 60 = 84. Корни: x = [12 ± sqrt(84)] / (2·3) = [12 ± 2√21] / 6 = (6 ± √21) / 3. При Δ > 0: два действительных корня.
Пример 2 (Δ < 0): x^2 + x + 1 = 0 a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1 - 4 = -3. Корни: x = [-1 ± sqrt(-3)] / 2 = (-1 ± i√3)/2. При Δ < 0: два комплексных корня.
Если нужно, могу привести ещё примеры под конкретный уровень (например, школьный курс средней школы) или разобрать задание на конкретных числах.
