В равнобедренном треугольнике KMN проведена высота MA из вершины к основанию. Также была проведена высота NH, которая пересекает MA в точке О. Найдите отношение MO к OA, если…
В равнобедренном треугольнике KMN проведена высота MA из вершины к основанию. Также была проведена высота NH, которая пересекает MA в точке О. Найдите отношение MO к OA, если известно, что KM = 3KH.
Задача: В равнобедренном треугольнике KMN проведены высота MA к основанию KN и высота NH, пересекающая MA в точке O. Найдите отношение MO к OA, при условии KM = 3 KH.
Пояснение и решение
Так как треугольник KMN равнобедренный, основанием является KN, вершина — M. Высота MA, опущенная из вершины к основанию KN, в равнобедренном треугольнике одновременно является медианой; значит A — середина KN, и MA перпендикулярна KN.
Введём координаты:
- возьмём KN на оси x, симметрично относительно оси y: K = (-d, 0), N = (d, 0).
- вершина M лежит над серединой KN, поэтому M = (0, h).
- тогда A, как середина KN, имеет координаты A = (0, 0).
- Применим условие KM = 3 KH. Точка H лежит на KM и KH составляет одну треть длины KM, то есть H делит отрезок KM в отношении KH:HM = 1:2. Положим:
- вектор KM = M - K = (0 - (-d), h - 0) = (d, h).
- H = K + (1/3)(KM) = (-d, 0) + (1/3)(d, h) = (-2d/3, h/3).
- Найдём точку O пересечения NH с MA. Линия NH проходит через N = (d, 0) и H = (-2d/3, h/3). Найдём её пересечение с MA, которая линейно задаётся как x = 0.
Параметрически NH: N + t(H − N) = (d, 0) + t((-2d/3 − d), (h/3 − 0)) = (d − (5d/3)t, (h/3)t). Условие пересечения с MA: x = 0. Тогда d − (5d/3)t = 0, t = 3/5. Следовательно, y = (h/3)·(3/5) = h/5. Значит O = (0, h/5).
- Теперь на оси MA у нас точки M = (0, h), O = (0, h/5), A = (0, 0).
- MO = h − h/5 = 4h/5,
- OA = h/5.
Следовательно, отношение MO к OA: MO : OA = (4h/5) : (h/5) = 4 : 1.
Ответ: MO:OA = 4:1.
