Решение с пояснениями.
Даны:
- от точки P до плоскости a проведены две наклонные линии L1 и L2;
- угол между L1 и L2 равен 60°;
- их проекции на плоскость имеют длины 3 см каждая и взаимно перпендикулярны.
Пусть плоскость a — плоскость z = 0, а точка P = (0, 0, h) лежит на высоте h над плоскостью (то есть расстояние от точки до плоскости равно h). Пусть точки пересечения L1 и L2 с плоскостью будут A = (x1, y1, 0) и B = (x2, y2, 0).
Условия проекций на плоскость:
- OA и OB — проекции L1 и L2 на плоскость; их длины равны 3:
sqrt(x1^2 + y1^2) = 3, sqrt(x2^2 + y2^2) = 3.
- OA ⟂ OB в плоскости:
x1 x2 + y1 y2 = 0.
Угол между наклонными линиями L1 и L2 рассчитывается через их векторы PA и PB, где
PA = A − P = (x1, y1, −h),
PB = B − P = (x2, y2, −h).
Скалярное произведение:
PA · PB = x1 x2 + y1 y2 + h^2 = 0 + h^2 = h^2.
Длины векторов PA и PB:
|PA| = sqrt(x1^2 + y1^2 + h^2) = sqrt(3^2 + h^2) = sqrt(9 + h^2),
|PB| = sqrt(9 + h^2).
Следовательно, косинус угла между L1 и L2:
cos(∠(L1, L2)) = (PA · PB) / (|PA||PB|) = h^2 / (9 + h^2).
По условию ∠(L1, L2) = 60°, значит cos 60° = 1/2. Получаем уравнение:
h^2 / (9 + h^2) = 1/2.
Решение:
2h^2 = 9 + h^2 => h^2 = 9 => h = 3.
Ответ: расстояние от данной точки до плоскости равно 3 см.
