Три любых Примеров нам с проверкой

Вот три примера на разные темы с полным разбором и проверкой. Пример 1. Линейная алгебра: система уравнений Задача: решить систему 2x + 3y - z = 1 - x + y + 4z = 8 3x - y + z = -2 Решение: - Из второго уравнения выразим x: -x = 8 - y - 4z ⇒ x = -8 + y + 4z. - Подставим в первое: 2(-8 + y + 4z) + 3y - z = 1 ⇒ -16 + 2y + 8z + 3y - z = 1 ⇒ 5y + 7z = 17. (Уравнение A) - Подставим в третье: 3(-8 + y + 4z) - y + z = -2 ⇒ -24 + 3y + 12z - y + z = -2 ⇒ 2y + 13z = 22. (Уравнение B) - Решаем A и B: умножим B на 5 и A на 2: 10y + 65z = 110 10y + 14z = 34 Вычтя: 51z = 76 ⇒ z = 76/51. - Найдём y из B: 2y + 13(76/51) = 22 ⇒ 2y = 22 - 988/51 = 134/51 ⇒ y = 67/51. - Найдём x из x = -8 + y + 4z: x = -8 + 67/51 + 4·76/51 = -8 + (67 + 304)/51 = -8 + 371/51 = -37/51. Ответ: x = -37/51, y = 67/51, z = 76/51. Проверка: Подставим в каждое уравнение. - 2x + 3y - z = 2(-37/51) + 3(67/51) - 76/51 = (-74 + 201 - 76)/51 = 51/51 = 1. - -x + y + 4z = 37/51 + 67/51 + 304/51 = 408/51 = 8. - 3x - y + z = 3(-37/51) - 67/51 + 76/51 = (-111 - 67 + 76)/51 = -102/51 = -2. Проверка пройдена. Пример 2. Аналитическое понимание/калькуляторная математика: интеграл Задача: найти ∫ x^2 e^x dx. Решение (повторение по частям): - Пусть u = x^2, dv = e^x dx. Тогда du = 2x dx, v = e^x. ∫ x^2 e^x dx = x^2 e^x - ∫ 2x e^x dx. - Теперь возьмём u = 2x, dv = e^x dx. Тогда du = 2 dx, v = e^x. ∫ 2x e^x dx = 2x e^x - ∫ 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x. - Подставляем обратно: ∫ x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = e^x (x^2 - 2x + 2) + C. Ответ: ∫ x^2 e^x dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C. Проверка (дифференцирование): d/dx [e^x (x^2 - 2x + 2)] = e^x (x^2 - 2x + 2) + e^x (2x - 2) = e^x (x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) = x^2 e^x. Совпало с поданным интегралом. Пример 3. Теория вероятностей: две фигуры с кубиками Задача: стандартный шестигранный кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7? Решение: - Все исходы для двух независимых бросков: 6×6 = 36. - Комбинации, дающие сумму 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — всего 6 исходов. - Вероятность: 6/36 = 1/6. Проверка через сводку вероятностей: P(сумма 7) = Σ P(первое число = i) P(второе число = 7−i) по i = 1..6. Каждое такое событие имеет вероятность 1/6 · 1/6, таких случаев 6, итого 6·(1/36) = 1/6. Подтверждается. Если хотите, могу сделать еще три примера по другой теме или сделать их более сложными/простыми под ваш уровень подготовки.