Боковая сторона равнобедренного треугольника  M N K MNK равна  6 6, а основание  M K MK равно  3 3. В этом треугольнике провели биссектрисы  M P MP и  K O KO. Найди длину отрезка  O P OP.

Задача предполагает равнобедренный треугольник MNK, у которого боковые стороны MN и NK равны по 6, основание MK = 3. В треугольнике MP — биссектриса угла при M, P лежит на NK; KO — биссектриса угла при K, O лежит на MN. Найти OP. 1) Расстановим координаты - Поместим MK горизонтально: M = (-1.5, 0), K = (1.5, 0). - Так как MN = NK = 6 и треугольник симметричен относительно оси MNK, вершина N лежит над серединой MK, поэтому N = (0, h). - По NM = 6: (xN - xM)^2 + (yN - yM)^2 = 6^2. Здесь xN = 0, yM = 0, xM = -1.5, поэтому (0 + 1.5)^2 + h^2 = 36. 2.25 + h^2 = 36 ⇒ h^2 = 33.75 = 135/4 ⇒ h = sqrt(135)/2 = (3√15)/2. Значит N = (0, (3√15)/2). 2) Найдём точки P и O через биссекторные правила - В треугольнике MNK биссектор из M делит сторону NK на части, пропорциональные прилегающим сторонам: NP / PK = MN / MK = 6 / 3 = 2. Так как NK = 6, имеем NP = (2/3) NK = 4, PK = 2. По координатам P лежит на NK и на расстоянии 4 от N: P = N + (2/3)(K − N). K − N = (1.5 − 0, 0 − h) = (1.5, −h). Умножаем на 2/3: (1.0, −(2/3)h). P = (0 + 1.0, h − (2/3)h) = (1, h/3). Так как h = (3√15)/2, то h/3 = √15/2. Значит P = (1, √15/2). - Аналогично для биссектрисы KO в точке O на MN: MO / ON = KM / KN = 3 / 6 = 1/2. Значит MO = (1/3) MN = 2, ON = 4. O лежит на MN и делит MN в отношении 1:2, то O = M + (1/3)(N − M). N − M = (0 − (−1.5), h − 0) = (1.5, h). Умножаем на 1/3: (0.5, h/3). O = (−1.5 + 0.5, 0 + h/3) = (−1, h/3). Так же, O имеет координату y = h/3 = √15/2. 3) Длина OP - Координаты P и O имеют одинаковую ординату: yP = yO = h/3. - По координатам OP равна абсолютной разности по x: |xP − xO| = |1 − (−1)| = 2. Ответ: OP = 2.