В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90, катет АC = 9, cos(A) = 4/5 . Найдите длину катета BC.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 9, cos(A) = 4/5. Найдите BC.

Пошаговое решение:

1. Обозначим гипотенузу:

• В треугольнике с углом A гипотенузой является AB, так как угол C = 90°.

2. Используем cos(A):

• Косинус угла A равен отношению соседнего прилегающего к гипотенузе к самой гипотенузе.
• Слева от cos(A) в треугольнике соседняя сторона к углу A и не является гипотенузой — это AC.
• Значит, cos(A) = AC / AB = 4/5.
• Отсюда AB = AC · 5/4 = 9 · 5/4 = 45/4.

3. Найдём BC через Пифагорову теорему:

• AB^2 = AC^2 + BC^2.
• Подставим известные значения: AB^2 = (45/4)^2 = 2025/16, AC^2 = 9^2 = 81 = 1296/16.
• BC^2 = AB^2 − AC^2 = (2025 − 1296)/16 = 729/16.
• BC = √(729/16) = 27/4.

4. Проверка (по желанию):

• sin(A) = √(1 − cos^2(A)) = √(1 − (4/5)^2) = √(1 − 16/25) = √(9/25) = 3/5.
• BC = AB · sin(A) = (45/4) · (3/5) = 27/4. Совпадает.

Ответ: BC = 27/4 = 6,75.