8.Два отрезка заключены между параллельными плоскостями. Найти расстояние между плос- костями, если длины отрезков 13и 20см., а сумма их проекций на одну из плоскостей 21см.

Расстояние между плоскостями равно 12 см.

Пояснение шаг за шагом

1. Обозначения

• Пусть расстояние между двумя параллельными плоскостями равно h (то, что нужно найти).
• Даны длины отрезков: L1 = 13 см и L2 = 20 см.
• Пусть p1 и p2 — длины их проекций на одну из плоскостей (то есть проекции на плоскость, параллельную данным плоскостям).

2. Связь между длиной отрезка, его проекцией и расстоянием между плоскостями Если отрезок проходит между двумя параллельными плоскостями, то он образует с проекцией на плоскость прямоугольный разрез: расстояние между плоскостями выступает как другая сторона прямоугольника. Тогда для каждого отрезка выполняется соотношение: L^2 = p^2 + h^2, то есть p = sqrt(L^2 − h^2).

3. Записать данные условия

• Для первого отрезка: p1 = sqrt(13^2 − h^2) = sqrt(169 − h^2).
• Для второго отрезка: p2 = sqrt(20^2 − h^2) = sqrt(400 − h^2).
• По условию суммарная проекция равна 21 см: p1 + p2 = 21.

4. Решение уравнения Имеем sqrt(169 − h^2) + sqrt(400 − h^2) = 21.

Обозначим a = sqrt(169 − h^2) и b = sqrt(400 − h^2). Тогда:

• a + b = 21
• b^2 − a^2 = (400 − h^2) − (169 − h^2) = 231

Из второго равенства: (b − a)(b + a) = 231. Но b + a = 21, значит b − a = 231 / 21 = 11.

Тогда найдём a и b:

• a + b = 21
• b − a = 11 Сложив, получаем 2b = 32 ⇒ b = 16; из этого a = 5.

5. Найдём h a^2 = 169 − h^2 = 25 ⇒ h^2 = 169 − 25 = 144 ⇒ h = 12 (отрицательное расстояние не имеет смысла, берём положительное).

6. Проверка p1 = a = 5, p2 = b = 16, p1 + p2 = 21 ✓ L1^2 = p1^2 + h^2 = 25 + 144 = 169 ⇒ L1 = 13 L2^2 = p2^2 + h^2 = 256 + 144 = 400 ⇒ L2 = 20

Ответ: расстояние между плоскостями равно 12 см.