Задача: Два отрезка заключены между параллельными плоскостями. Найти расстояние между плоскостями, если длины отрезков 13 см и 20 см, а сумма их проекций на одну из плоскостей равна 21 см.
Обозначения:
- h — расстояние между параллельными плоскостями.
- p1 — длина проекции отрезка длиной 13 см на одну плоскость.
- p2 — длина проекции отрезка длиной 20 см на ту же плоскость.
Так как концы каждого отрезка лежат на двух параллельных плоскостях, его проекция на плоскость имеет длину p, а связь между длиной отрезка L, проекцией p и расстоянием h такая: L^2 = h^2 + p^2. Значит:
- p1 = sqrt(13^2 − h^2) = sqrt(169 − h^2),
- p2 = sqrt(20^2 − h^2) = sqrt(400 − h^2).
Дано: p1 + p2 = 21. Получаем уравнение:
sqrt(169 − h^2) + sqrt(400 − h^2) = 21.
Обозначим a = sqrt(169 − h^2) и b = sqrt(400 − h^2). Тогда:
- a + b = 21,
- b^2 − a^2 = (400 − h^2) − (169 − h^2) = 231.
Но b^2 − a^2 = (b − a)(b + a) = (b − a)·21. Следовательно:
(b − a)·21 = 231 → b − a = 11.
Теперь решаем систему:
a + b = 21
b − a = 11
Складывая: 2b = 32 → b = 16, значит a = 5.
Теперь найдём h:
a^2 = 169 − h^2 → 5^2 = 169 − h^2 → 25 = 169 − h^2 → h^2 = 169 − 25 = 144 → h = 12 (положительное расстояние).
Проверка:
p1 = a = 5, p2 = b = 16, p1 + p2 = 21 — верно.
L1^2 = h^2 + p1^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 → L1 = 13 см.
L2^2 = h^2 + p2^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 → L2 = 20 см.
Ответ: расстояние между плоскостями равно 12 см.
