8.Два отрезка заключены между параллельными плоскостями. Найти расстояние между плос- костями, если длины отрезков 13и 20см., а сумма их проекций на одну из плоскостей 21см.

Задача: Два отрезка заключены между параллельными плоскостями. Найти расстояние между плоскостями, если длины отрезков 13 см и 20 см, а сумма их проекций на одну из плоскостей равна 21 см.

Обозначения:

• h — расстояние между параллельными плоскостями.
• p1 — длина проекции отрезка длиной 13 см на одну плоскость.
• p2 — длина проекции отрезка длиной 20 см на ту же плоскость.

Так как концы каждого отрезка лежат на двух параллельных плоскостях, его проекция на плоскость имеет длину p, а связь между длиной отрезка L, проекцией p и расстоянием h такая: L^2 = h^2 + p^2. Значит:

• p1 = sqrt(13^2 − h^2) = sqrt(169 − h^2),
• p2 = sqrt(20^2 − h^2) = sqrt(400 − h^2).

Дано: p1 + p2 = 21. Получаем уравнение: sqrt(169 − h^2) + sqrt(400 − h^2) = 21.

Обозначим a = sqrt(169 − h^2) и b = sqrt(400 − h^2). Тогда:

• a + b = 21,
• b^2 − a^2 = (400 − h^2) − (169 − h^2) = 231.

Но b^2 − a^2 = (b − a)(b + a) = (b − a)·21. Следовательно: (b − a)·21 = 231 → b − a = 11.

Теперь решаем систему: a + b = 21 b − a = 11

Складывая: 2b = 32 → b = 16, значит a = 5.

Теперь найдём h: a^2 = 169 − h^2 → 5^2 = 169 − h^2 → 25 = 169 − h^2 → h^2 = 169 − 25 = 144 → h = 12 (положительное расстояние).

Проверка: p1 = a = 5, p2 = b = 16, p1 + p2 = 21 — верно. L1^2 = h^2 + p1^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 → L1 = 13 см. L2^2 = h^2 + p2^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 → L2 = 20 см.

Ответ: расстояние между плоскостями равно 12 см.