Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол45°

Решение задачи пошагово.

Дано:

• правильная квадратная пирамида: основание — квадрат со стороной a, высота h (расстояние от вершины до плоскости основания).
• боковое ребро l = 20 см (отрезок от вершины до любой вершины основания).
• угол между боковым ребром и высотой равен 45°.

1. Связь высоты и бокового ребра через угол

• Рассмотрим треугольник AOV, где A — вершина пирамиды, O — центр основания, V — вершина основания. AO = h (высота), OV = r — расстояние от центра до вершины основания, AV = l (боковое ребро).
• В пирамиде AO перпендикулярно плоскости основания, OV лежит в плоскости основания, поэтому треугольник AOV прямой с углом 90° в O. Угол между AV и AO в этом треугольнике равен 45°.
• Тогда cos(45°) = adjacent/hypotenuse = AO/AV = h/l. Следовательно h = l cos 45° = 20 · (√2/2) = 10√2 см.

2. Связь бокового ребра с размером основания

• OV — расстояние от центра основания до вершины основания. Для квадрата со стороны a: OV = a/√2.
• По теореме Пифагора в треугольнике AOV: l^2 = h^2 + OV^2. Подставляем: 20^2 = (10√2)^2 + (a^2/2). 400 = 200 + a^2/2 ⇒ a^2/2 = 200 ⇒ a^2 = 400 ⇒ a = 20 см.

3. Объем пирамиды

• Площадь основания S_base = a^2 = 20^2 = 400 см².
• Объем V = (1/3) · S_base · h = (1/3) · 400 · (10√2) = 4000√2 / 3 см³.

Итог: Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V = 4000√2/3 см³ ≈ 1882 см³.