Точки Р, М, Q и N — середины соответственно сторон АВ, ВС, СД и ДА трапеции АВСД (ВС | AD). Докажите, что прямые MN, AQ и DP пересекаются в одной точке.

Имеем трапецию ABCD с BC ∥ AD. Пусть P, M, Q, N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

1. Введём координаты.

• Пусть A = (0, 0), D = (1, 0). Так как BC ∥ AD, возьмём B = (b, h), C = (c, h) с h ≠ 0.
• Тогда midpoints:
  • P — середина AB: P = (b/2, h/2)
  • M — середина BC: M = ((b + c)/2, h)
  • Q — середина CD: Q = ((c + 1)/2, h/2)
  • N — середина DA: N = (1/2, 0)

2. Найдём уравнения нужных прямых.

• AQ проходит через A(0,0) и Q((c+1)/2, h/2). Его наклонение m_AQ = (h/2)/( (c+1)/2 ) = h/(c+1). Значит: y = (h/(c+1)) x.
• DP проходит через D(1,0) и P(b/2, h/2). Наклонение m_DP = (h/2)/(b/2 - 1) = h/(b-2). Значит: y = (h/(b-2)) (x - 1).
• MN проходит через M((b+c)/2, h) и N(1/2, 0). Наклонение m_MN = (0 - h)/(1/2 - (b+c)/2) = 2h/(b+c-1). Значит: y = (2h/(b+c-1)) (x - 1/2).

3. Найдём точку пересечения AQ и DP. Приравниваем y-координаты: (h/(c+1)) x = (h/(b-2)) (x - 1). После деления на h получаем: x/(c+1) = (x - 1)/(b-2).

Решая относительно x: (b-2)x = (c+1)(x - 1) => (b-2)x = (c+1)x - (c+1) => (b - c - 3) x = -(c+1) => x0 = (c+1)/(c+3 - b).

Подставим в AQ для y: y0 = (h/(c+1)) x0 = h/(c+3 - b).

Итак, точка пересечения AQ и DP имеет координаты X = ( x0, y0 ) = ( (c+1)/(c+3 - b), h/(c+3 - b) ).

4. Проверим, что эта же точка лежит на MN. Подставим x = x0 в MN: y_MN = (2h/(b+c-1)) (x0 - 1/2).

Вычислим x0 - 1/2: x0 - 1/2 = (c+1)/(c+3 - b) - 1/2 = [2(c+1) - (c+3 - b)] / [2(c+3 - b)] = (b + c - 1) / [2(c+3 - b)].

Тогда y_MN = (2h/(b+c-1)) · (b+c-1) / [2(c+3 - b)] = h/(c+3 - b).

Это совпадает с y0. Следовательно, точка X лежит и на MN.

4. Вывод. Прямые MN, AQ и DP действительно пересекаются в одной точке. Координаты точки схождения: X = ( (c+1)/(c+3 - b), h/(c+3 - b) ).

Задача выполнена: три заданные прямые сходят в одну точку при любой расположении вершин B(b,h) и C(c,h) трапеции ABCD с BC ∥ AD.