Натуральные числа a,b,c таковы, что a2 b+b2 c+c2 a=ab2+bc2+ca2 и abc=47957. Чему равна сумма a+b+c?

Задача сводится к тому, что дано a^2 b + b^2 c + c^2 a = a b^2 + b c^2 + c a^2 и abc = 47957. Нужно найти a+b+c.

1. Преобразование Обозначим F = a^2 b + b^2 c + c^2 a - (a b^2 + b c^2 + c a^2). Тогда F = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a).

Известно тождество a^2 b + b^2 c + c^2 a - (a b^2 + b c^2 + c a^2) = -(a-b)(b-c)(c-a). Следовательно F = 0 эквивалентно (a-b)(b-c)(c-a) = 0, то есть хотя бы две из a, b, c равны.

2. Применение условия произведения Из abc = 47957. В простейшем разложении 47957 = 7 · 13 · 17 · 31 — число произведение четырех различных простых, т.е. оно свободно от квадратов (squarefree).

Если две переменные равны, скажем a = b = t, то произведение равно t^2 · c. Тогда t^2 должно делить 47957. Поскольку 47957 квадратно свободно, единственный возможный вариант — t = 1. Тогда c = 47957.

Аналогично для любых двух равных переменных: две равные должны быть 1, а третья — 47957.

3. Сумма Таким образом, тройка (a, b, c) — это перестановка (1, 1, 47957). Их сумма равна a + b + c = 1 + 1 + 47957 = 47959.

Ответ: 47959.