; решить неравенство (х+7)10(х-9)(х-8)5≤0.

Задача: решить неравенство (x+7)^10 (x-9) (x-8)^5 ≤ 0.

1. Разбор факторов

• (x+7)^10 — неотрицательно для всех x и обнуляется только при x = -7.
• (x-9) — линейный фактор, меняет знак при x = 9.
• (x-8)^5 — пятой степенью сохранит знак как у (x-8); обнуляется при x = 8.

2. Сигнальная разбивка Поскольку A = (x+7)^10 ≥ 0 и A = 0 только при x = -7, для x ≠ -7 знак произведения P = A·(x-9)·(x-8)^5 совпадает со знаком B·C, где B = (x-9), C = (x-8)^5 (а C имеет тот же знак, что и (x-8)).

То есть для x ≠ -7 знак P равен знаку (x-9)·(x-8).

3. Решение по интервалам (критические точки: -7, 8, 9) Разделим по точкам 8 и 9 (и учтем отдельно точку -7):

• x < -7: A > 0, (x-9) < 0, (x-8) < 0 → P > 0.
• x = -7: P = 0.
• -7 < x < 8: A > 0, (x-9) < 0, (x-8) < 0 → P > 0.
• x = 8: P = 0.
• 8 < x < 9: A > 0, (x-9) < 0, (x-8) > 0 → P < 0.
• x = 9: P = 0.
• x > 9: A > 0, (x-9) > 0, (x-8) > 0 → P > 0.

4. Итог

• P ≤ 0 на промежутке 8 < x < 9 (строго отрицательное), и в точках x = -7, 8, 9 (где P = 0).
• Следовательно, решение: x ∈ { -7 } ∪ [8, 9].

Ответ: (-7) ∪ [8, 9].