Выберите все верные утверждения. Все простые числа, большие 10 , имеют вид 3k+1 или 3k−1 (k — натуральное) Все простые числа, большие 10 , имеют вид 4k+1 или 4k−1 (k —…

Задача про делимость и остатки по модулю.

Ключевые факты:

• Любое простое p > 3 не делится ни на 2, ни на 3. Значит p ≡ 1, 5 mod 6, то есть p имеет вид 6k+1 или 6k−1.
• Аналогично, любые простые p > 3 не делятся на 3, значит p ≡ 1 или 2 mod 3, т.е. p имеет вид 3k+1 или 3k−1.
• Любое простое p > 2 нечетно, значит p ≡ 1 или 3 mod 4, т.е. p имеет вид 4k+1 или 4k−1.

Рассмотрим утверждения:

1. Все простые числа, большие 10, имеют вид 3k+1 или 3k−1 (k — натуральное)

• Верно. Любое p > 3 удовлетворяет p ≡ 1 или 2 mod 3, что эквивалентно p = 3k+1 или p = 3k−1 (для подходящего k).

2. Все простые числа, большие 10, имеют вид 4k+1 или 4k−1 (k — натуральное)

• Верно. Любое p > 2 значит p ≡ 1 или 3 mod 4, то есть p = 4k+1 или p = 4k−1.

3. Все простые числа, большие 10, имеют вид 5k+1 или 5k−1 (k — натуральное)

• Неверно. Примеры: p = 13 ≡ 3 mod 5, а не 1 или 4 mod 5. Так же можно привести p = 23 ≡ 3 mod 5. Есть простые > 10, которые не попадают в 5k±1.

4. Все простые числа, большие 10, имеют вид 6k+1 или 6k−1 (k — натуральное)

• Верно. Это эквивалентно тому, что p ≡ 1 или 5 mod 6, то есть p не делится на 2 и на 3. Любое простое p > 3 удовлетворяет этому.

Итого: Верны утверждения 1, 2 и 4. Утверждение 3 ложно.