Теорема о трёх перпендикулярах признак перпендикулярной прямой к плоскости признак параллельности теорема о трёх перпендикулярах признак перпендикулярной прямой к плоскости признак параллельности теорема о трёх перпендикулярах признак перпендикулярной прямой к плоскости признак параллельности двух плоскостейтеорема о 3 перпендикулярах-признак перпендикулярной прямой к плоскости-признак параллельности 2 плоскостей.

Отлично, разберёмся по теме: теорема о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности прямой к плоскости и признак параллельности двух плоскостей. Я дам формулировки, краткие доказательства и примеры, чтобы было понятно на практике. 1) Теорема о трёх перпендикулярах (признак перпендикулярной прямой к плоскости) - Формулировка (классическая): Пусть прямая l не лежит в плоскости α. Если l перпендикулярна двум прямым l1 и l2, лежащим в α, и эти две прямые не параллельны (то есть они непересекаются или пересекаются и образуют в α две независимые направления), тогда l перпендикулярна самой плоскости α. - Идея доказательства: l ⟂ l1 и l ⟂ l2, а l1 и l2 не параллельны, значит они образуют базис плоскости α. Любая любая линейная комбинация их направлений принадлежит α, а направление l перпендикулярно каждому из направлений внутри α. Значит l ⟂ α. - Пример в геометрии: возьмём плоскость α как плоскость z = 0 (xy-плоскость). В ней возьмём две не параллельные прямые: l1 вдоль оси x (направление (1,0,0)) и l2 вдоль оси y (направление (0,1,0)). Пусть прямая l имеет направление d = (a,b,c). Тогда условие l ⟂ l1 и l ⟂ l2 даёт a = 0 и b = 0, то есть d = (0,0,c). Такая прямая перпендикулярна плоскости z = 0. 2) Признак перпендикулярности прямой к плоскости (общее, удобное и практическое правило) - Формулировка: Прямая l перпендикулярна плоскости α тогда и только тогда, когда она перпендикулярна двум неколлинеарным (не параллельным друг другу) прямым, лежащим в α. Эквивалентно: направление прямой l параллельно нормали к плоскости α. - Вариант в координатной форме: - Пусть плоскость α задана нормалью n = (A, B, C) (то есть нормаль плоскости к плоскости α). Пусть прямая l задана направляющим вектором d = (u, v, w). - Тогда l ⟂ α тогда, когда d параллелен n, то есть существует скаляр λ ≠ 0 такой, что d = λ n. Это равносильно тому, что векторное произведение d × n равно нулю, или что скалярное произведение d·v по отношению к любой векторной базе α даёт 0. - Частый практический тест: достаточно проверить, что прямая перпендикулярна двум неколлинеарным линиям, лежащим в плоскости. Например для α = z = 0 тестируем l ⟂ x-оси и l ⟂ y-оси — тогда l ∥ оси z и перпендикулярна плоскости. 3) Признак параллельности двух плоскостей - Формулировка: Две плоскости α и β параллельны (одна к другой) тогда и только тогда, когда их нормали пропорциональны: нормали nα и nβ удовлетворяют nα = k nβ для какого-то k ≠ 0. - Если нормали пропорциональны и плоскости не совпадают, говорят, что плоскости параллельны и не пересекаются. - Если кроме пропорциональности также выполняется совпадание постоянных членов в их канонических формузации, то это одна и та же плоскость. - Пример: α: 2x + 3y + z − 4 = 0 имеет нормаль nα = (2, 3, 1). β: 4x + 6y + 2z + 1 = 0 имеет нормаль nβ = (4, 6, 2) = 2 nα. Значит, плоскости параллельны (и, скорее всего, различны, если константы не согласованы на одной и той же плоскости). - Проверка различия: умножим первую плоскость на 2: 4x + 6y + 2z − 8 = 0. Она не совпадает с β (константа другая: −8 против +1), значит плоскости параллельны и различны. 4) Быстрые примеры и пошаговые решения - Пример 1. Определить, перпендикулярна ли прямая l: направляющее d = (0, 0, 5) плоскости α: z = 0. - Нормаль плоскости α: n = (0, 0, 1). Направление l параллельно n (d = 5 n). Значит, l ⟂ α. - Ответ: да, перпендикулярна. - Пример 2. Определить, перпендикулярна ли прямая l: d = (1, 0, 1) плоскости α: x + y + z = 0. - Нормаль α: n = (1, 1, 1). Проверяем, пропорциональны ли d и n. Не пропорциональны (коэффициенты не одинаковые пропорционально). Значит l не перпендикулярна α. - Ответ: нет. - Пример 3. Даны две плоскости α: 2x + 3y + z − 4 = 0 и β: 4x + 6y + 2z + 1 = 0. Легко увидеть, что nα = (2, 3, 1), nβ = (4, 6, 2) = 2 nα, следовательно, α ∥ β. Они параллельны и различны (проверка по константам: после умножения α на 2 получаем константу −8, что не равно 1 в β). - Ответ: параллельны (и различны). 5) Как это использовать на экзамене - Чтобы проверить перпендикулярность прямой к плоскости, ищите нормаль к плоскости и сравните с направлением прямой: - Если направление прямой совпадает с нормалью (или пропорционально ей), прямая перпендикулярна плоскости. - Чтобы применить теорему о трёх перпендикулярах, достаточно проверить, что прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости. - Чтобы проверить параллельность двух плоскостей, сравните их нормали: - Пропорциональность нормалей означает параллельность плоскостей. - Пропорциональность нормалей и различие свободных членов свидетельствуют о том, что плоскости различны, но параллельны. Если хочешь, могу привести еще больше примеров или помочь разобрать твою конкретную задачу (пришли текст задачи или изображение — я дам шаг за шагом решение и пояснения). Также могу сделать небольш набор задач на закрепление: по 2-3 задачи на каждый из трёх разделов.