В правильном тетраэдре SABC с ребром 6 найди косинус угла между плоскостями (SCB) и (ABC) .

Задача: в правильном тетраэдре SABC со стороной a = 6 найти косинус угла между плоскостями SCB и ABC (то есть диэдральный угол между двумя соседними гранями).

План решения:

• Поместим основание ABC в плоскость z = 0 так, чтобы тетраэдр был симметрично расположен.
• Координаты вершин основания ABC (центр — начало координат) могут быть взяты так: B = (a/√3, 0, 0), C = (-a/(2√3), a/2, 0), A = (-a/(2√3), -a/2, 0). Это равносторонний треугольник со стороной a и центром в начале координат.
• Апекс S находится над основанием на высоте h, где h = a·√(2/3). То есть S = (0, 0, h).
• Нормаль к плоскости ABC: n1 = (0, 0, 1).
• Векторы from S к вершинам B и C: SB = B − S = (a/√3, 0, −h), SC = C − S = (−a/(2√3), a/2, −h).
• Вектор-нормаль плоскости SBC определяется как n2 = SB × SC. Вычислим его: SB × SC = ( h a/2, (3 a h)/(2√3), a^2/(2√3) ).
• Косинус угла между двумя плоскостями равен косинусу угла между их нормалями: cos φ = |n1 · n2| / (|n1| |n2|) = |n2_z| / |n2| = (a^2/(2√3)) / |n2|.
• Найдём |n2|. По вычислению получаем: |n2|^2 = (h a/2)^2 + ( (3 a h)/(2√3) )^2 + ( a^2/(2√3) )^2 = a^2 h^2 + a^4/12. Так как h^2 = a^2·(2/3), имеем: |n2|^2 = a^2·(2a^2/3) + a^4/12 = (2a^4/3) + (a^4/12) = (3a^4/4). Следовательно |n2| = a^2·√3 / 2.
• Подставим в формулу: cos φ = (a^2/(2√3)) / (a^2√3/2) = 1/3.

Ответ: cos угла между плоскостями SCB и ABC равен 1/3. Диэдральный угол между двумя гранями равен arccos(1/3) ≈ 70.53 градуса. Примечание: результат не зависит от длины ребра; для любого равностороннего тетраэдра с ребром a он остается 1/3.