наути первообразную для функции √х/5 +4sin(4x+2)
Задача: найти первообразную для f(x) = √x/5 + 4 sin(4x+2).
Пошаговое решение:
Разложим на суммы. Примем, что первообразная F(x) удовлетворяет F'(x) = √x/5 + 4 sin(4x+2). Значит F(x) = ∫ (√x/5) dx + ∫ 4 sin(4x+2) dx.
Первая часть: ∫ (√x/5) dx = (1/5) ∫ x^(1/2) dx. ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2) / (3/2) = (2/3) x^(3/2). Значит первая часть = (1/5) * (2/3) x^(3/2) = (2/15) x^(3/2).
Можно записать как (2/15) x^(3/2) или (2/15) x √x.
Вторая часть: ∫ 4 sin(4x+2) dx. Можно воспользоваться формулой ∫ sin(ax+b) dx = -cos(ax+b)/a. Здесь a = 4, b = 2, поэтому ∫ sin(4x+2) dx = -cos(4x+2)/4. Учитывая множитель 4, получаем: ∫ 4 sin(4x+2) dx = 4 * (-cos(4x+2)/4) = -cos(4x+2).
Объединяем результаты: F(x) = (2/15) x^(3/2) - cos(4x+2) + C.
Проверка (быстрая производная):
- d/dx[(2/15) x^(3/2)] = (2/15) * (3/2) x^(1/2) = (1/5) √x.
- d/dx[-cos(4x+2)] = 4 sin(4x+2). Сумма даёт √x/5 + 4 sin(4x+2), как и было.
Примечание по домену:
- Реальная функция √x определена для x ≥ 0, поэтому первообразная записана на таком промежутке. Формально F(x) = (2/15) x^(3/2) - cos(4x+2) + C определена там; для x<0 интеграл от √x не бесконфликтно в действительных числах.
