Наконец-то мы начали изучать синтаксис простого предложения! -какое глагольное сказуемое?

Ответ: глагольное сказуемое — "начали изучать" (это сложное глагольное/сложное составное сказуемое).

Пояснение:

• Подлежащее в предложении — это "мы".
• Сказуемое состоит из двух слов: finite форма глагола "начали" и инфинитив "изучать". Такое сочетание образует сложное глагольное сказуемое, означающее начало действия.
• Дополнение: существительное фраза "синтаксис простого предложения" является дополнением к глаголу "изучать".
• Обстоятельство времени: "Наконец-то" — обстоятельство времени и не входит в сказуемое.