y = 4 * (x + 1) ^ 2 - 2 Реши

Вот подробное решение этой задачи.

Дано: y = 4 · (x + 1)^2 − 2

1. Тип и основные свойства

• Это квадратичная функция, записанная в вершинной форме y = a(x − h)^2 + k, где a = 4, h = −1, k = −2.
• Верша́на (центр параболы): график имеет вершину в точке (-1, −2).
• Ось симметрии: x = −1.
• Парабола открывается вверх (потому что a > 0), значит минимальное значение y равно k = −2.

2. Приведение к стандартной форме

• Раскроем скобки: (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
• Умножим на 4: 4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4
• Отнимем 2: y = 4x^2 + 8x + 2

3. Проверка вершины через стандартную форму

• Для y = 4x^2 + 8x + 2:
  • x-координата вершины: x_v = −b/(2a) = −8/(2·4) = −1
  • y-координата вершины: y_v = 4(−1)^2 + 8(−1) + 2 = 4 − 8 + 2 = −2
• Подтверждаем вершину (-1, −2).

4. Перехваты графика

• y-перехват (при x = 0): y = 4(0 + 1)^2 − 2 = 4 − 2 = 2, точка (0, 2).
• x-перехваты (y = 0): 4(x + 1)^2 − 2 = 0 → (x + 1)^2 = 1/2 → x + 1 = ± 1/√2 → x = −1 ± 1/√2 = −1 ± √2/2. Значит две точки пересечения с осью x: x = −1 − √2/2 и x = −1 + √2/2.

5. Диапазон значений

• Так как парабола вверх и минимальное значение −2, диапазон значений: y ≥ −2.

Итого:

• Вершина: (-1, −2)
• Ось симметрии: x = −1
• Стандартная форма: y = 4x^2 + 8x + 2
• График пересекает ось y в (0, 2)
• x-пересечения: x = −1 ± √2/2
• Диапазон: [−2, ∞)