В равнобедренном треугольнике АБС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведенная из вершины А , равна 5. Найдите длину стороны АС

Решение.

1. В равнобедренном треугольнике АБС с углом при В = 120° стороны AB и BC равны (иначе B был бы вершиной неравных сторон, и углы не могли бы так суммироваться). Значит AB = BC = t, а основание – AC.

2. Обозначим площадь треугольника двумя способами:

• Через стороны AB и BC и угол B: S = (1/2)·AB·BC·sin∠B = (1/2)·t^2·sin(120°).
• Через основание BC и высоту из A к BC (высота h_a = 5): S = (1/2)·BC·h_a = (1/2)·t·5.

Приравнивая: (1/2) t^2 sin(120°) = (1/2) t · 5 t sin(120°) = 5 sin(120°) = √3/2, поэтому t = 5 / (√3/2) = 10/√3.

3. Найдём длину AC. По закону cos для треугольника ABC (AB = BC = t, ∠B = 120°): AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos(∠B) = t^2 + t^2 − 2t^2 cos(120°) = 2t^2 − 2t^2(-1/2) = 3t^2. Тогда AC = t√3.

4. Подставим t = 10/√3: AC = (10/√3) · √3 = 10.

Ответ: AC = 10.