Ниже приведён тест по алгебре для 11 класса на тему «решение неравенств». Тип вопросов: открытые. Всего 5 вопросов. В конце каждого вопроса указано решение и краткое пояснение.
- Вопрос 1
Решите неравенство: 2x + 3 > 5x − 7.
Ответ:
x < 10/3.
Пояснение:
2x + 3 > 5x − 7 => 3 + 7 > 5x − 2x => 10 > 3x => x < 10/3.
- Вопрос 2
Решите неравенство: x^2 − 4x − 5 > 0.
Ответ:
(-∞, −1) ∪ (5, ∞).
Пояснение:
x^2 − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1). Прямые корни −1 и 5; на промежутках знак квадратичной функции: положительный на (-∞, −1) и (5, ∞).
- Вопрос 3
Решите неравенство: (x − 4)/(x + 3) ≥ 0. Область определения: x ≠ −3.
Ответ:
(-∞, −3) ∪ [4, ∞).
Пояснение:
- при x < −3: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен → дробь положительная;
- на интервале (−3, 4): числитель отрицателен, знаменатель положителен → дробь отрицательна;
- при x ≥ 4: числитель неотрицателен (ноль в точке x = 4), знаменатель положителен → дробь ≥ 0. Значение x = −3 исключаем, x = 4 включаем.
- Вопрос 4
Решите неравенство: |3x − 7| ≥ 5.
Ответ:
(-∞, 2/3] ∪ [4, ∞).
Пояснение:
|y| ≥ 5 эквивалентно y ≤ −5 или y ≥ 5. Здесь y = 3x − 7:
- 3x − 7 ≤ −5 ⇒ 3x ≤ 2 ⇒ x ≤ 2/3;
- 3x − 7 ≥ 5 ⇒ 3x ≥ 12 ⇒ x ≥ 4.
- Вопрос 5
Решите неравенство: 2x^2 − 7x + 3 ≥ 0.
Ответ:
(-∞, 1/2] ∪ [3, ∞).
Пояснение:
Дискриминант D = 49 − 24 = 25. Корни: x = (7 ± 5)/4 → x1 = 1/2, x2 = 3. Поскольку а = 2 > 0, парабола раскрывается вверх, поэтому неравенство ≥ 0 выполняется вне промежутков между корнями: x ≤ 1/2 или x ≥ 3.
