раскройте скобки в выражении (x+2)⁶

Задача: раскрыть скобки в выражении (x+2)^6.

Подход: используем биномиальную теорему. Для удобства приведу оба варианта: по формуле и пошагово через умножение.

1. Метод 1. Биномиальная теорема (х+2)^6 = sum_{k=0}^6 C(6,k) x^{6-k} 2^k

Квадрат коэффициентов С(6,k) для n=6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Распишем по каждому слагаемому:

• k=0: C(6,0) x^6 2^0 = 1·x^6 = x^6
• k=1: C(6,1) x^5 2^1 = 6·2 x^5 = 12x^5
• k=2: C(6,2) x^4 2^2 = 15·4 x^4 = 60x^4
• k=3: C(6,3) x^3 2^3 = 20·8 x^3 = 160x^3
• k=4: C(6,4) x^2 2^4 = 15·16 x^2 = 240x^2
• k=5: C(6,5) x^1 2^5 = 6·32 x = 192x
• k=6: C(6,6) x^0 2^6 = 1·64 = 64

Сумма дает: x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64

2. Метод 2. Пошаговое умножение (через последовательное умножение на (x+2))

• (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
• (x+2)^3 = (x+2)(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
• (x+2)^4 = (x+2)(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
• (x+2)^5 = (x+2)(x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16) = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32
• (x+2)^6 = (x+2)(x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32) = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64

Итак, итоговый разложение одинаково: x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64

Ответ: (x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64.