раскрыть скобки в выражении (3x+2y)⁴

Детальное решение (для понятия):

Здесь применим биномиальный разложение: (a + b)^n = sum_{k=0..n} C(n, k) a^{n-k} b^k.

Пусть a = 3x, b = 2y, n = 4.

Коэффициенты бинома для n = 4: 1, 4, 6, 4, 1.

Раскрытие по шагам:

• k = 0: C(4,0) (3x)^4 (2y)^0 = 1 · 81x^4 · 1 = 81 x^4
• k = 1: C(4,1) (3x)^3 (2y)^1 = 4 · 27x^3 · 2y = 4 · 54 x^3 y = 216 x^3 y
• k = 2: C(4,2) (3x)^2 (2y)^2 = 6 · 9x^2 · 4y^2 = 6 · 36 x^2 y^2 = 216 x^2 y^2
• k = 3: C(4,3) (3x)^1 (2y)^3 = 4 · 3x · 8y^3 = 4 · 24 x y^3 = 96 x y^3
• k = 4: C(4,4) (3x)^0 (2y)^4 = 1 · 1 · 16 y^4 = 16 y^4

Суммируем все полученные члены: (3x + 2y)^4 = 81 x^4 + 216 x^3 y + 216 x^2 y^2 + 96 x y^3 + 16 y^4

Альтернативный способ для проверки (корректность): (3x + 2y)^4 = [(3x + 2y)^2]^2. Сначала возьмем квадрат: (3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2. Затем возводим в квадрат: (9x^2 + 12xy + 4y^2)^2 = 81x^4 + 216x^3y + 216x^2y^2 + 96xy^3 + 16y^4. Это совпадает с результатом выше.

Ответ: (3x + 2y)^4 = 81x^4 + 216x^3y + 216x^2y^2 + 96xy^3 + 16y^4.