в прямоугольном треугольнике один из катетов на 3см меньше гипотенузы, а другой на 6см меньше гипотенузы. найдите гипотенузу

Задача: в прямоугольном треугольнике один катет на 3 см меньше гипотенузы, другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Решение:

• Обозначим гипотенузу за c (см). Соответственно, два катета будут равны c − 3 и c − 6.
• По теореме Пифагора: (c − 3)^2 + (c − 6)^2 = c^2.
• Раскроем скобки и приведём подобное: (c^2 − 6c + 9) + (c^2 − 12c + 36) = c^2 2c^2 − 18c + 45 = c^2 c^2 − 18c + 45 = 0.
• Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: D = 18^2 − 4·1·45 = 324 − 180 = 144, sqrt(D) = 12.
• Корни уравнения: c = (18 ± 12) / 2 → c = 15 или c = 3.
• Однако гипотенуза должна быть больше каждого катета. Если c = 3, то катеты были бы c − 3 = 0 и c − 6 = −3, что невозможно. Значит, этот корень нужно отбросить.
• Остался корень c = 15.

Ответ: гипотенуза равна 15 см. Соответствующие катеты: 12 см и 9 см (проверка: 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2).