Определите все такие значения р, чтобы квадратный трехчлен x² + 2px + 1 принимал только положительные значения при любом х.

Решение для Algebra 8 класса (цель: понять). Дано: f(x) = x^2 + 2p x + 1. Требуется, чтобы f(x) > 0 для любого реального x. 1) Поскольку коэффициент при x^2 положителен (a = 1 > 0), парабола открывается вверх. Чтобы функция была положительной во всех точках, её минимум должен быть положительным. 2) Найдём минимум. Координаты вершины параболы: x0 = -b/(2a) = -(2p)/(2) = -p. Значение в вершине: f(-p) = (-p)^2 + 2p(-p) + 1 = p^2 - 2p^2 + 1 = 1 - p^2. 3) Условие f(x) > 0 для всех x эквивалентно f(-p) > 0, то есть: 1 - p^2 > 0 ⇔ p^2 < 1 ⇔ -1 < p < 1. 4) Альтернативно можно посмотреть через дискриминант: D = (2p)^2 - 4 = 4(p^2 - 1). Чтобы у трёхчлена не было вещественных корней и он был положителен everywhere (при a>0), D < 0, то есть p^2 - 1 < 0, что даёт тот же диапазон -1 < p < 1. Ответ: p ∈ (-1, 1).