Построй график функции y=∣x∣(x+2)–2x. Определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответ запиши их в порядке…

Задача требует найти значения m, при которых прямая y = m пересекает график функции y = |x|(x+2) − 2x ровно в двух точках.

1. Разобьем функцию по вводу x:

• Для x ≥ 0: |x| = x, поэтому y = x(x+2) − 2x = x^2.
• Для x < 0: |x| = −x, поэтому y = (−x)(x+2) − 2x = −x^2 − 4x.

Итого, график задан двумя ветвями:

• Ветвь A (x ≥ 0): y = x^2.
• Ветвь B (x < 0): y = −x^2 − 4x = −(x+2)^2 + 4 (помещена в виде параболы с вершиной в точке (-2, 4)).

2. Найдем точки пересечения каждой ветви с горизонтальной линией y = m.

• Ветвь A: x^2 = m, с условием x ≥ 0.

  • Если m ≥ 0, есть одна точка пересечения: x = √m (положительное или нулевое).
  • Если m < 0, пересечений нет.

• Ветвь B: −x^2 − 4x = m, то x^2 + 4x + m = 0.

  • Дискриминант D = 16 − 4m = 4(4 − m). Реально только если m ≤ 4.
  • Корни: x = −2 ± sqrt(4 − m).
  • Учитывая условие x < 0:
    • x1 = −2 − sqrt(4 − m) всегда отрицателен при m ≤ 4.
    • x2 = −2 + sqrt(4 − m) может быть отрицательным, нулём или положительным:
      • если sqrt(4 − m) < 2 ⇔ m > 0, то x2 ∈ (−2, 0) и допустим;
      • если sqrt(4 − m) = 2 ⇔ m = 0, то x2 = 0 (не допускается для ветви B);
      • если sqrt(4 − m) > 2 ⇔ m < 0, то x2 > 0 (недопустим для ветви B).

3. Подсчёт числа точек пересечения в зависимости от m.

• m < 0:

  • Ветвь A не даёт пересечений.
  • Ветвь B даёт ровно одно допустимое пересечение (x1 < 0, x2 > 0 недопустим).
  • Всего 1 пересечение.

• m = 0:

  • Ветвь A даёт пересечение в x = 0.
  • Ветвь B даёт пересечение в x = −4 (и x = 0 не учитывается, как для x < 0).
  • Всего 2 пересечения: x = −4 и x = 0.

• 0 < m ≤ 4:

  • Ветвь A даёт одно пересечение x = √m > 0.
  • Ветвь B даёт два допустимых пересечения (оба x < 0).
  • Всего 3 пересечения.

• m = 4:

  • Ветвь A даёт пересечение x = 2.
  • Ветвь B имеет двойное пересечение на вершине ветви, т.е. один корень x = −2 (на δ = 0), который учитывается как одно пересечение.
  • Всего 2 пересечения: x = −2 и x = 2.

• m > 4:

  • Ветвь A даёт пересечение в x = √m > 0.
  • Ветвь B пересечений нет (м > 4).
  • Всего 1 пересечение.

Итак, ровно две общие точки имеют место только в случаях m = 0 и m = 4.

Ответ: m = 0 и m = 4 (в порядке возрастания). При m = 0 точки пересечения: (−4, 0) и (0, 0). При m = 4 точки пересечения: (−2, 4) и (2, 4).