Реши систему уравнений в целых числах: { 2 x 2 − 7 = y 2 y + 19 = 6 x { 2x 2 −7=y 2 y+19=6x
Заданная система (по смыслу):
- 2x^2 - 7 = y^2
- y + 19 = 6x
Из второй уравнения выразим y: y = 6x - 19
Подставим в первое уравнение: 2x^2 - 7 = (6x - 19)^2
Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: (6x - 19)^2 = 36x^2 - 228x + 361 2x^2 - 7 = 36x^2 - 228x + 361 0 = 34x^2 - 228x + 368 Делим на 2: 17x^2 - 114x + 184 = 0
Найдем дискриминант: D = (-114)^2 - 4·17·184 = 12996 - 12512 = 484 sqrt(D) = 22
Найдем корни: x = [114 ± 22] / (2·17) = [114 ± 22] / 34 x1 = (114 + 22)/34 = 136/34 = 4 x2 = (114 - 22)/34 = 92/34 = 46/17 (не целое)
Значит целочисленное решение есть только для x = 4.
Найдем y по y = 6x - 19: y = 6·4 - 19 = 24 - 19 = 5
Проверка: 2x^2 - 7 = 2·16 - 7 = 25, y^2 = 25 → совпадает. y + 19 = 5 + 19 = 24 = 6x → совпадает.
Ответ: единственное целочисленное решение системы — (x, y) = (4, 5).
