В своём саду Инна Николаевна создала цветник в виде прямоугольника. Внутри него она разместила 3 3 круглые клумбы с цветами, каждая из которых была расставлена на равном…

Задача: прямоугольник внутри с тремя равными круглыми клумбами, расположенными на равном расстоянии друг от друга и от сторон. Нужно найти вероятность того, что случайно упавшее семечко, оказавшись в цветнике, прорастёт за пределами клумб. Считаем π = 3.

1. Предположение к размеру и расположению

• Чтобы получить конкретное число, удобнее рассмотреть самый простой вариант: расстояния между клумбами и от клумб до сторон равны нулю (клумбы касаются друг друга и касаются сторон). Тогда клумбы “упираются” в стороны цветника и между ними нет зазоров.
• Пусть радиус клумбы равен r. Тогда высота цветника равна диаметру клумбы: H = 2r.
• Ширина цветника состоит из трёх диаметров клумб: W = 3 · (2r) = 6r.
• Область цветника: A_rectangle = W · H = 6r · 2r = 12 r^2.

2. Площадь клумб

• Площадь одной клумбы: S_circle = π r^2; с данными условиями π = 3, значит S_circle = 3 r^2.
• Всего три клумбы: S_flowers = 3 · (3 r^2) = 9 r^2.

3. Вероятность

• Вероятность того, что семечко, попавшее в цветник, окажется вне клумб, равна площади цветника минус площадь клумб, делённой на площадь цветника: P = (A_rectangle − S_flowers) / A_rectangle = (12 r^2 − 9 r^2) / 12 r^2 = 3 r^2 / 12 r^2 = 1/4.

Ответ: 1/4 (0.25).

Примечание. Если допустить, что между клумбами и стенками цветника есть общий положительный зазор d (то есть расстояния одинаковы и не нулевые), то размеры будут другими:

• H = 2r + 2d, W = 6r + 4d, A_rectangle = 12r^2 + 20rd + 8d^2.
• Тогда P = 1 − (3πr^2) / A_rectangle = 1 − (9 r^2) / (12r^2 + 20rd + 8d^2) (при π = 3). Но без значения d ответ будет зависеть от этого зазора. Поэтому в простейшем и часто предполагаемом случае с нулевыми зазорами и получаемым числом 1/4 решение является наиболее естественным.