Реши задачу. В равностороннем треугольнике M N K MNK со стороной 6 3 6 3 ​ провели медиану N Q NQ . Чему равно скалярное произведение векторов N Q → NQ ​ и N K → NK ?

Прямой путь: используем координатный метод.

Обозначим сторону треугольника s. В условиях дано s = 6.

Размещаем треугольник в системе координат:

• Пусть N = (0, 0),
• K = (s, 0) = (6, 0),
• M = (s/2, (√3/2)s) = (3, 3√3).

Так как Q — середина стороны MK, то Q = ((M_x + K_x)/2, (M_y + K_y)/2) = ((3 + 6)/2, (3√3 + 0)/2) = (9/2, 3√3/2).

Векторы:

• NQ = Q − N = (9/2, 3√3/2),
• NK = K − N = (6, 0).

Скалярное произведение: NQ · NK = (9/2)·6 + (3√3/2)·0 = 27.

Ответ: 27.

Замечание: в общем виде для стороны s скалярное произведение равно NQ · NK = 3s^2/4, а при s = 6 получается 27.