Решите треугольник АВС, если ВС = 4 см, АС = 8 см, угол С равен 45 градусов.

Дано: BC = 4 см, AC = 8 см, ∠C = 45°.

1. Найдем AB (сторона c) по теореме косинусов (SAS): AB^2 = BC^2 + AC^2 − 2·BC·AC·cos∠C = 4^2 + 8^2 − 2·4·8·cos 45° = 16 + 64 − 64·(√2/2) = 80 − 32√2.

AB = sqrt(80 − 32√2) = 4√(5 − 2√2) ≈ 5.895 см.

2. Найдем ∠A по синусам: sin∠A / BC = sin∠C / AB ⇒ sin∠A = BC·sin∠C / AB = 4 · sin 45° / AB ≈ 4 · (√2/2) / 5.895 ≈ 0.479. ∠A ≈ arcsin(0.479) ≈ 28.6°.

3. ∠B: ∠B = 180° − ∠C − ∠A ≈ 180° − 45° − 28.6° ≈ 106.4°.

4. (по желанию) площадь треугольника: S = (1/2)·BC·AC·sin∠C = 0.5·4·8·sin 45° ≈ 11.31 см².

Итого:

• AB ≈ 5.895 см
• ∠A ≈ 28.6°
• ∠B ≈ 106.4°
• Площадь S ≈ 11.31 см² (по желанию).