На отрезке AB взята точка C. Через точки A и B проведены по одну сторону от AB параллельные лучи.На них отложены отрезки AD=AC и BE=BC. Точка C соединена отрезками прямых с точками D и E. Докажите, что DC перпендикулярно CE

Цель: понять доказательство, показать, что DC ⟂ CE. Условия: на отрезке AB взята точка C. Через A и B проведены параллельные лучи в одну сторону. На них отложены AD = AC и BE = BC. Соединяем C с D и с E. Нужно доказать, что угол DCE равен 90°. Пошаговое решение (координатный подход, понятный для школьной геометрии): 1) Ввод координат. - Помещаем AB на ось x: пусть A = (0, 0), B = (L, 0), где L = AB. - Точка C лежит на AB: C = (c, 0), где 0 < c < L. Тогда AC = c и BC = L − c. 2) Вектор направления параллельных лучей. - Пусть параллельные лучи через A и через B направлены вдоль единичного вектора u = (p, q) с q > 0. Тогда |u| = 1, так что p^2 + q^2 = 1. 3) Точки D и E на этих лучах. - D лежит на луче через A и AD = AC = c, поэтому D = A + u·AD = (0,0) + (p,q)·c = (pc, qc). - E лежит на луче через B и BE = BC = L − c, поэтому E = B + u·BE = (L,0) + (p,q)·(L − c) = (L + p(L − c), q(L − c)). 4) Векторы CD и CE. - CD = D − C = (pc − c, qc − 0) = (c(p − 1), cq). - CE = E − C = (L + p(L − c) − c, q(L − c) − 0) = ((L − c)(1 + p), (L − c)q). 5) Скалярное произведение CD и CE. - CD · CE = [c(p − 1)]·[(L − c)(1 + p)] + (cq)·[(L − c)q] - = c(L − c)[(p − 1)(1 + p) + q^2] - = c(L − c)[(p^2 − 1) + q^2] - = c(L − c)[(p^2 + q^2) − 1] - = c(L − c)(1 − 1) = 0, потому что p^2 + q^2 = 1. 6) Вывод. - Так как CD · CE = 0, получаем, что CD ⟂ CE. Значит, лучи DC и EC перпендикулярны. Итак, независимо от положения C на AB, направление параллельных лучей и условие AD = AC, BE = BC приводят к тому, что DC перпендикулярно CE.