Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
Дано трапецию ABCD с основаниями AB и CD параллельными. Пусть AB = a, CD = c. Обозначим середины диагоналей: M — середина_AC, N — середина_BD. Нужно показать, что MN параллелен основаниям и MN = (|a - c|)/2.
Диссертация решения (координатный подход):
Разместим трапецию на плоскости так, чтобы основание AB лежало на оси x: A = (0, 0), B = (a, 0). Верхнюю параллельную боковую CD положим на линию y = h (h > 0). Пусть D = (d, h), C = (d + c, h). Тогда AB и CD параллельны (обе горизонтальны), длины оснований: AB = a, CD = c.
Найдём середины диагоналей:
- Диагональ AC идёт от A(0,0) к C(d + c, h). Её середина M: M = ((0 + d + c)/2, (0 + h)/2) = ((d + c)/2, h/2).
- Диагональ BD идёт от B(a,0) к D(d, h). Её середина N: N = ((a + d)/2, (0 + h)/2) = ((a + d)/2, h/2).
MN параллелен основаниям: Координаты y у M и N равны h/2, следовательно MN горизонтален и, значит, параллелен AB и CD.
Определим длину MN: MN = |x_N − x_M| = |(a + d)/2 − (d + c)/2| = |(a − c)/2| = (|a − c|)/2. Таким образом, MN равен половине разности длин оснований: MN = (|AB − CD|)/2.
Вывод: Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, действительно параллелен её основаниям и по длине равен половине разности длин оснований AB и CD.
Дополнение (вариант краткого векторного доказательства): Обозначим вектора AB = B − A и CD = D − C. Так как AB // CD, эти два вектора параллельны. Тогда MN = N − M = (B + D)/2 − (A + C)/2 = ( (B − A) + (D − C) )/2 = (AB + CD)/2. Поскольку AB и CD параллельны (и направлены, возможно, в противоположные стороны), их сумма тоже параллельна основаниям. Длина MN равна половине разности длин AB и CD, то есть MN = (|AB − CD|)/2.
