Найдите точки экстремума функции, промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x+5.

Итак, задача: найти точки экстремума, а также интервалы роста и убывания для f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 5.

1. Производная и критические точки

• f'(x) = d/dx(2x^3 - 3x^2 - 36x + 5) = 6x^2 - 6x - 36.
• Факторизуем: f'(x) = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2).
• Критические точки получаем из f'(x) = 0: x = -2 и x = 3. (Дробления или неопределённые точки отсутствуют, домена нет.)

2. Тип экстремума (второй производной)

• f''(x) = d/dx(6x^2 - 6x - 36) = 12x - 6.
• Для x = -2: f''(-2) = 12(-2) - 6 = -24 - 6 = -30 < 0 → локальный максимум.
• Для x = 3: f''(3) = 12(3) - 6 = 36 - 6 = 30 > 0 → локальный минимум.

3. Значения функции в критических точках

• f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 5 = 2(-8) - 3(4) + 72 + 5 = -16 - 12 + 72 + 5 = 49.
• f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 5 = 2(27) - 3(9) - 108 + 5 = 54 - 27 - 108 + 5 = -76.

Значит:

• Локальный максимум: (-2, 49).
• Локальный минимум: (3, -76).

4. Промежутки возрастания и убывания

• f'(x) = 6(x - 3)(x + 2). Число 6 положительно, поэтому знак знаков зависимости от (x - 3)(x + 2):
  • на (-∞, -2): (x-3) отрицательно, (x+2) отрицательно → произведение положительное → f'(x) > 0 → функция возрастает.
  • на (-2, 3): (x-3) отрицательно, (x+2) положительно → произведение отрицательное → f'(x) < 0 → функция убывает.
  • на (3, ∞): оба множителя положительны → f'(x) > 0 → функция возрастает.

Итого:

• Возрастает на (-∞, -2) и (3, ∞).
• Убывает на (-2, 3).

5. Примечание об абсолютных экстремумах Так как ведущий коэффициент при x^3 положителен (2x^3), функция стремится к +∞ при x → +∞ и к -∞ при x → -∞. Следовательно, глобального максимума или минимума нет; есть только локальные экстремумы: максимум в x = -2 и минимум в x = 3.

Ответ:

• Локальный максимум: (-2, 49).
• Локальный минимум: (3, -76).
• Промежутки возрастания: (-∞, -2) и (3, ∞).
• Промежутки убывания: (-2, 3).