Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - Размер выборки: \( n = 50 \) - Исправленное среднее квадратическое отклонение выборки: \( S = 14 \) - Надежность: 0,999 - Цель: найти…
Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - Размер выборки: \( n = 50 \) - Исправленное среднее квадратическое отклонение выборки: \( S = 14 \) - Надежность: 0,999 - Цель: найти доверительный интервал, который покрывает истинное среднее квадратическое отклонение \(\sigma\). --- ### Шаг 1. Понимание задачи Нам нужно построить доверительный интервал для **параметра** \(\sigma\) — генерального среднеквадратического отклонения. В статистике такие интервалы строятся с использованием распределения \(\chi^2\) (хи-квадрат). **Важно:** поскольку у нас есть выборочное среднее квадратическое отклонение \(S\), которое является несмещенной оценкой \(\sigma\), и разделение выборки по независимым наблюдениям. --- ### Шаг 2. Формула доверительного интервала для \(\sigma\) Доверительный интервал для \( \sigma \) при условии, что данные нормально распределены, задается формулой: \[ \left( S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}},\quad S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}}} \right) \] где: - \( \chi^2_{p,\, n-1} \) — квантиль распределения \(\chi^2\) с \( n-1 \) степенями свободы на уровне \( p \), - \( \alpha = 1 - \text{уровень доверия} \), - у нас уровень доверия \( 0,999 \Rightarrow \alpha = 0,001 \). --- ### Шаг 3. Находим квантиль \(\chi^2\) Для доверительного интервала с уровнем доверия 0,999: - \( \alpha/2 = 0,0005 \) - \( 1 - \alpha/2 = 0,9995 \) Нам нужны два значения: - \(\chi^2_{0,0005,\, 49}\) — левый квантиль, - \(\chi^2_{0,9995,\, 49}\) — правый квантиль. Обращаясь к таблице \(\chi^2\) (или используя калькулятор): - \(\chi^2_{0,0005,\, 49} \approx 17.27\), - \(\chi^2_{0,9995,\, 49} \approx 83.30\). --- ### Шаг 4. Расчет доверительного интервала Подставляем в формулу: \[ \text{нижняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.9995,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{83.30}} \] \[ \text{верхняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.0005,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{17.27}} \] Рассчитаем: 1. Нижняя граница: \[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{83.30}} \approx 14 \times \sqrt{0.600} \approx 14 \times 0.775 = 10.85 \] 2. Верхняя граница: \[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{17.27}} \approx 14 \times \sqrt{2.894} \approx 14 \times 1.703 = 23.84 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ (10.85,\; 23.84) } \] Это доверительный интервал с надежностью 0,999, в котором с большой вероятностью содержится истинное среднеквадратическое отклонение \(\sigma\).
Ниже подробное решение по шагам с объяснениями.
Цель: построить доверительный интервал для истинного среднеквадратического отклонения σ, используя распределение χ^2. Делается допущение нормального распределения данных.
Дано:
- n = 50, n − 1 = 49
- исправленное среднее квадратическое отклонение выборки S = 14, то есть s^2 = S^2 = 196
- доверительная вероятность 0,999 → α = 1 − 0,999 = 0,001, α/2 = 0,0005
Шаг 1. Формула доверительного интервала для σ Для нормально распределённых данных распределение (n−1)s^2/σ^2 относится к χ^2_{n−1}. Следовательно, P( χ^2_{α/2, ν} ≤ (n−1)s^2/σ^2 ≤ χ^2_{1−α/2, ν} ) = 1 − α, где ν = n − 1 = 49.
Откуда получаем интервал для σ: σ^2 ∈ [ (n−1)s^2 / χ^2_{1−α/2, ν}, (n−1)s^2 / χ^2_{α/2, ν} ], то есть σ ∈ [ sqrt( (n−1)s^2 / χ^2_{1−α/2, ν} ), sqrt( (n−1)s^2 / χ^2_{α/2, ν} ) ].
Заметим: в формулах ключевое число в числителе — (n−1)s^2, а не n s^2, потому что s^2 рассчитывается по знаменателю n−1.
Шаг 2. Найдем квантиль χ^2_{α/2, ν} и χ^2_{1−α/2, ν}
- ν = 49, α/2 = 0,0005, 1 − α/2 = 0,9995.
- Из таблицы χ^2/калькулятора для χ^2_{0.0005, 49} ≈ 17.27.
- Для χ^2_{0.9995, 49} ≈ 83.30.
Шаг 3. Расчет доверительного интервала
Нижняя граница (по верхнему квантилю χ^2_{1−α/2, ν}): нижняя = sqrt( (n−1) S^2 / χ^2_{1−α/2, ν} ) = sqrt( 49 * 196 / 83.30 ) = sqrt( 9604 / 83.30 ) ≈ sqrt(115.27) ≈ 10.74.
Верхняя граница (по нижнему квантилю χ^2_{α/2, ν}): верхняя = sqrt( (n−1) S^2 / χ^2_{α/2, ν} ) = sqrt( 9604 / 17.27 ) ≈ sqrt(556.04) ≈ 23.58.
Шаг 4. Итог 99,9%-ный доверительный интервал для истинного среднеквадратического отклонения σ: (approximately) 10.74, 23.58
Замечания и возможные вариации:
- Ваша школа или источник могут давать немного другие численные значения квантилей χ^2_{α/2, ν} и χ^2_{1−α/2, ν}. Разница в последних цифрах несущественна для практики.
- Если вместо s^2 вычисляли s по формуле с знаменателем n (а не n−1), числа будут немного отличаться. Стандартная формула для CI σ использует (n−1)s^2 в числителе.
- Условие применимости: данные должны быть нормально распределены.
Ответ: доверительный интервал для σ при доверии 0,999 примерно (10.74, 23.58).
