Круг описан около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 18 , а угол, прилежащий к этому катету, равен π 3 . Найдите величину S π , где S - площадь круга.

Решение подробно и понятно.

Дано: прямоугольный треугольник, один из катетов равен 18, угол, прилежащий к этому катету, равен π/3 (60°).

1. Определим углы треугольника

• В прямоугольном треугольнике один острый угол равен π/3, значит другой острый угол равен π/2 − π/3 = π/6.
• Получаем пропорцию 30-60-90: углы 30°, 60°, 90°.
• Укажем, что угол, прилежащий к данному катету, равен π/3, значит этот катет прилегает к углу 60°, следовательно:
  • угол A = π/6 (30°),
  • угол B = π/3 (60°),
  • угол C = π/2 (90°), где C — точка прямого угла.

2. Соотношения сторон в 30-60-90

• Обозначим стороны: против A (30°) — x, против B (60°) — x√3, гипотенуза — 2x.
• Задан катет равен 18. Этот катет является против угла 30°, т.е. x = 18.
• Следовательно:
  • против 60° сторона b = x√3 = 18√3,
  • гипотенуза c = 2x = 36.

3. Радиус описанной окружности

• Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы.
• Здесь R = c/2 = 36/2 = 18.

4. Площадь круга и требуемое произведение

• Площадь круга S = πR^2 = π · 18^2 = 324π.
• Требуется величина Sπ = S · π = π · (324π) = 324π^2.

Ответ: 324π^2.