Круг описан около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 18 , а угол, прилежащий к этому катету, равен π 3 . Найдите величину S π , где S - площадь круга.

Решение подробно и понятно. Дано: прямоугольный треугольник, один из катетов равен 18, угол, прилежащий к этому катету, равен π/3 (60°). 1) Определим углы треугольника - В прямоугольном треугольнике один острый угол равен π/3, значит другой острый угол равен π/2 − π/3 = π/6. - Получаем пропорцию 30-60-90: углы 30°, 60°, 90°. - Укажем, что угол, прилежащий к данному катету, равен π/3, значит этот катет прилегает к углу 60°, следовательно: - угол A = π/6 (30°), - угол B = π/3 (60°), - угол C = π/2 (90°), где C — точка прямого угла. 2) Соотношения сторон в 30-60-90 - Обозначим стороны: против A (30°) — x, против B (60°) — x√3, гипотенуза — 2x. - Задан катет равен 18. Этот катет является против угла 30°, т.е. x = 18. - Следовательно: - против 60° сторона b = x√3 = 18√3, - гипотенуза c = 2x = 36. 3) Радиус описанной окружности - Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы. - Здесь R = c/2 = 36/2 = 18. 4) Площадь круга и требуемое произведение - Площадь круга S = πR^2 = π · 18^2 = 324π. - Требуется величина Sπ = S · π = π · (324π) = 324π^2. Ответ: 324π^2.