Задача: в кубе ABCDA1B1C1D1 со стороной a = √2 найти расстояние от точки B до прямой DD1.
1) Координатный выбор
- Положим нижний квадрат ABCD в плоскости z = 0:
A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0).
- Верхний квадрат: A1(0,0,a), B1(a,0,a), C1(a,a,a), D1(0,a,a).
- Точка B = (a, 0, 0), прямая DD1 проходит через D = (0,a,0) и D1 = (0,a,a), направление v = D1 − D = (0,0,a).
2) Формула расстояния от точки до прямой в пространстве
Расстояние d от точки P до прямой, заданной точкой D на линии и направлением v, равно:
d = |(P − D) × v| / |v|.
Применяем к P = B, D = D, v = (0,0,a).
- P − D = B − D = (a, 0, 0) − (0, a, 0) = (a, −a, 0).
- Сross-произведение (a, −a, 0) × (0, 0, a) = (−a^2, −a^2, 0).
- Модуль этого вектора: |(P − D) × v| = sqrt((−a^2)^2 + (−a^2)^2) = a^2√2.
- Модуль v: |v| = |(0,0,a)| = a.
Тогда d = (a^2√2) / a = a√2.
3) Подстановка a = √2
d = √2 · √2 = 2.
Ответ: расстояние от точки B до прямой DD1 равно 2.
Дополнительное замечание (интуитивно): проекция прямой DD1 на плоскость XY — это точка (0, a). Расстояние в пространстве равно расстоянию между проекциями B(а,0) и D-проекцией (0,а) в плоскости XY, то есть sqrt(a^2 + a^2) = a√2, что даёт тот же результат после подстановки a = √2.
