Построить график функции у=х во 2 +х-6 и указать свойства

Задача: построить график функции y = x^2 + x − 6 и указать свойства. Кратко о форме - Это парабола с коэффициентом a = 1 > 0, значит график открывается вверх и имеет минимальную точку. 1) Корни уравнения (пересечение с осью x) - x^2 + x − 6 = 0. - Разложим на множители: (x + 3)(x − 2) = 0. - Корни: x = −3 и x = 2. - Соответствующие точки на графике: (-3, 0) и (2, 0). 2) Пересечение с осью y - Подставим x = 0: y = 0^2 + 0 − 6 = −6. - Точка пересечения с осью y: (0, −6). 3) Вершина и ось симметрии - Координаты вершины вычисляются через формулу h = −b/(2a). Здесь a = 1, b = 1 → h = −1/2. - Значение функции в вершине: f(−1/2) = (−1/2)^2 + (−1/2) − 6 = 1/4 − 1/2 − 6 = −25/4 = −6.25. - Координаты вершины: (−1/2, −25/4). - Ось симметрии: x = −1/2. - Так как a > 0, это минимальная точка графика, минимальное значение y равно −25/4. 4) Каноническая (вершинная) форма - График можно записать как y = a(x − h)^2 + k. - Подставим a = 1, h = −1/2, k = −25/4: y = (x + 1/2)^2 − 25/4. - Это эквивалентная форма; удобна для построения графика и понимания свойства параболы. 5) Таблица образующих точек (для чертежа) - x = −3 → y = 0 (пересечение с осью x) - x = −2 → y = 4 − 2 − 6 = −4 - x = −1 → y = 1 − 1 − 6 = −6 - x = −1/2 → y = −25/4 = −6.25 (вершина) - x = 0 → y = −6 - x = 1 → y = 1 + 1 − 6 = −4 - x = 2 → y = 4 + 2 − 6 = 0 (пересечение с осью x) Можно построить график по этим точкам, чтобы получить плавную гладкую параболу. 6) Свойства графика - Область определения: все вещественные числа (действительно для любой x). - Область значений (диапазон): y ≥ −25/4. - Ось симметрии: x = −1/2. - Вершина: (−1/2, −25/4) — минимальная точка. - Направление ветвей: вверх (поскольку a > 0). - Корни: x = −3 и x = 2 — точки пересечения с осью x. - Пересечение с осью y: (0, −6). Как построить график шаг за шагом - Признать форму параболы (a = 1, открывается вверх). - Найти корни (x = −3, 2) и отметить точки (-3, 0) и (2, 0). - Найти y-пересечение (0, −6). - Найти вершину: η = −1/2, k = −25/4; отметить вершину (−1/2, −25/4) и ось симметрии x = −1/2. - Перерисовать параболу через эти точки; наглядно наложить каноническую форму y = (x + 1/2)^2 − 25/4 для проверки кривизны. Ответ (ключевые данные) - График: парабола вверх. - Корни: x = −3, x = 2. - Точка пересечения с осью y: (0, −6). - Вершина: (−1/2, −25/4) = (−0.5, −6.25). - Ось симметрии: x = −1/2. - Каноническая форма: y = (x + 1/2)^2 − 25/4. - Область значений: y ≥ −25/4.