Конденсаторы ёмкостью С1 = 4 нФ и С2 = 12 нФ, заряженные до напряжений соответсвтенно U1 = 20 В и U2 > U1, соединили одноимённо заряженными обкладками так как показано на рисунке.…
Конденсаторы ёмкостью С1 = 4 нФ и С2 = 12 нФ, заряженные до напряжений соответсвтенно U1 = 20 В и U2 > U1, соединили одноимённо заряженными обкладками так как показано на рисунке. При этом выделилось количество теплоты Q = 8*10^(-9) Дж. Найдите напряжение U2, до которого был заряжен второй конденсатор.
Задача решается в рамках сохранения заряда и энергии с учётом выделения тепла при соединении.
Дано:
- C1 = 4 нФ = 4×10^-9 Ф, U1 = 20 В
- C2 = 12 нФ = 12×10^-9 Ф, U2 = x (неизвестно), при этом U2 > U1
- выделено тепло Q = 8×10^-9 Дж
После соединения одноимённых обкладок конденсаторы образуют пару с общей величиной емкости C = C1 + C2 = 16×10^-9 Ф. Общий заряд сохраняется: Q_total = C1 U1 + C2 U2 = (C1 + C2) V_f, где V_f — итоговое напряжение после соединения. Отсюда V_f = (C1 U1 + C2 U2) / (C1 + C2) = (4e-9·20 + 12e-9·x) / (16e-9) = 5 + 0.75x.
Энергии конденсаторов до и после соединения:
- Изначальная энергия: E_i = 1/2 (C1 U1^2 + C2 U2^2) = 1/2 (4e-9·20^2 + 12e-9·x^2) = 8×10^-7 + 6×10^-9 x^2.
- Конечная энергия после уравнивания напряжения: E_f = 1/2 (C1 + C2) V_f^2 = 1/2 (16e-9) (5 + 0.75x)^2 = 8×10^-9 (5 + 0.75x)^2.
Коэффициент энергии, потерянной как тепло, равен Q = E_i − E_f = 8×10^-9.
- Подстановка и сокращение: 8×10^-7 + 6×10^-9 x^2 − 8×10^-9 (5 + 0.75x)^2 = 8×10^-9.
Упростим: после приведения к нормируемому виду получаем квадратичное уравнение 3x^2 − 120x + 1184 = 0.
- Решение квадратичного уравнения: Дискриминант D = 120^2 − 4·3·1184 = 14400 − 14208 = 192. x = [120 ± √192] / (2·3) = [120 ± 8√3] / 6 = 20 ± (4/3)√3.
Численно:
- x1 ≈ 20 + 2.309 ≈ 22.31 В
- x2 ≈ 20 − 2.309 ≈ 17.69 В
Условия задачи говорят, что U2 > U1, следовательно выбираем U2 ≈ 22.31 В.
Ответ: напряжение второго конденсатора до подключения равно примерно 22.3 В.
