слово разогналась пишется слитно?

Ответ: да, пишется слитно — разогналась.

Пошаговое объяснение:

• Это форма глагола возвратного вида с приставкой: инфинитив разогнаться. Значит, это прошедшее время женского рода единственного числа: она разогналась.
• Структура слова: приставка раз- + корень гон- (от глагола гонять/гонять) + возвратный суффикс -ась (образует возвратную форму прошедшего времени). В итоге получается одно слово: разогналась.
• Правило правописания: формы глаголов с приставками и возвратной частицей -ся обычно пишутся слитно (например, улыбнулась/разобралась/разогналась и т. п.). Поэтому внутри предложения это одно слово.
• Примеры сравнения: не разогналась — с частицей не ставится другая форма внутри слова; но сами слова пишутся отдельно: не разогналась (две части речи: частица не + разогналась).

Дополнительные заметки:

• Аналогичные формы: разогнался (муж., он разогнался), разогналась (жен., она разогналась), разогнались (они разогнались) — все пишутся слитно.
• Синоним к этому глаголу: ускорилась, набрала скорость.

Если хочешь, могу привести ещё примеры похожих приставочно-возвратных форм и попрактиковаться.