Реши f (x) =4x^3-1,5x^4

Ниже подробное решение и разбор функции f(x) = 4x^3 − 1,5x^4 (то есть f(x) = 4x^3 − (3/2)x^4). 1) Упрощение и факторизация - Запишем через дроби: f(x) = 4x^3 − (3/2)x^4. - Вынесем общий множитель x^3 и приводим к удобной форме: f(x) = x^3(4 − (3/2)x) = (1/2) x^3(8 − 3x). - Это удобно для нахождения корней. 2) Нули функции (решение f(x) = 0) - f(x) = x^3(4 − (3/2)x) = 0. - Умножим на 2: x^3(8 − 3x) = 0. - Решения: - x^3 = 0 → x = 0 (кратность 3). - 8 − 3x = 0 → x = 8/3. - Итак, корни: x = 0 (множитель 3) и x = 8/3 (кратность 1). 3) Производная и критические точки - Первая производная: f′(x) = d/dx(4x^3) − d/dx((3/2)x^4) = 12x^2 − 6x^3 = 6x^2(2 − x). - Критические точки получаем из f′(x) = 0: - x = 0 - x = 2 4) Классификация критических точек - Вторая производная: f″(x) = d/dx(12x^2 − 6x^3) = 24x − 18x^2 = 6x(4 − 3x). - Рассмотрим точки: - x = 2: f″(2) = 6·2·(4 − 3·2) = 12·(4 − 6) = 12·(−2) = −24 < 0. Значит, при x = 2 есть локальный максимум. Значение функции: f(2) = 4·8 − (3/2)·16 = 32 − 24 = 8. - x = 0: f″(0) = 0, поэтому второй признак не даёт ответа. Нужно смотреть поведение функции или третью производную. Третья производная: f‴(x) = 24 − 36x, и f‴(0) = 24 ≠ 0, значит x = 0 — точка касания с осью инфлексии (стационарная точка инфлексии). В окрестности x = 0 функция возрастает (поскольку f′(x) = 6x^2(2 − x) > 0 при x ≠ 0 и близких к нулю). 5) Поведение графика и меры - Рост/убыль: f′(x) = 6x^2(2 − x). - для x < 2, x ≠ 0: f′(x) > 0, функция возрастает; - для x > 2: f′(x) < 0, функция убывает. - при x = 0 и x = 2 производная равна нулю. - Пределы при x → ±∞: ведущий член −(3/2)x^4 доминирует, поэтому f(x) → −∞. - Глобальный максимум: по анализу критических точек максимум достигается в x = 2 и равен f(2) = 8. - Глобальный минимум на всей плоскости не существует (функция стремится к −∞ при |x| → ∞). 6) Значения и графическая сводка - Корни: x = 0 (множитель 3) и x = 8/3. - Значения в критических точках: f(0) = 0, f(2) = 8. - Поведение: функция возрастает на (-∞, 0) и (0, 2), достигает локального максимума в x = 2 (f = 8), после чего убывает; при x → ±∞ стремится к −∞. - Диапазон (множество значений): (-∞, 8]. Коротко вычеркнуть итог: - Функция f(x) = 4x^3 − 1,5x^4 имеет корни x = 0 и x = 8/3. - Локальный максимум равен 8 при x = 2. - В точке x = 0 касательная горизонтальна, это точка инфлексии (стационарная точка инфлексии). - Глобальный максимум равен 8, диапазон функции: (-∞, 8]. Если хотите, могу показать график или рассмотреть конкретно задачи на график, нахождение площадей под кривой или решение подобных вопросов для других функций.