реши f (x) =4x^3-1,5x^4

Ниже подробное решение и разбор функции f(x) = 4x^3 − 1,5x^4 (то есть f(x) = 4x^3 − (3/2)x^4).

1. Упрощение и факторизация

• Запишем через дроби: f(x) = 4x^3 − (3/2)x^4.
• Вынесем общий множитель x^3 и приводим к удобной форме: f(x) = x^3(4 − (3/2)x) = (1/2) x^3(8 − 3x).
• Это удобно для нахождения корней.

2. Нули функции (решение f(x) = 0)

• f(x) = x^3(4 − (3/2)x) = 0.
• Умножим на 2: x^3(8 − 3x) = 0.
• Решения:
  • x^3 = 0 → x = 0 (кратность 3).
  • 8 − 3x = 0 → x = 8/3.
• Итак, корни: x = 0 (множитель 3) и x = 8/3 (кратность 1).

3. Производная и критические точки

• Первая производная: f′(x) = d/dx(4x^3) − d/dx((3/2)x^4) = 12x^2 − 6x^3 = 6x^2(2 − x).
• Критические точки получаем из f′(x) = 0:
  • x = 0
  • x = 2

4. Классификация критических точек

• Вторая производная: f″(x) = d/dx(12x^2 − 6x^3) = 24x − 18x^2 = 6x(4 − 3x).
• Рассмотрим точки:
  • x = 2: f″(2) = 6·2·(4 − 3·2) = 12·(4 − 6) = 12·(−2) = −24 < 0. Значит, при x = 2 есть локальный максимум. Значение функции: f(2) = 4·8 − (3/2)·16 = 32 − 24 = 8.
  • x = 0: f″(0) = 0, поэтому второй признак не даёт ответа. Нужно смотреть поведение функции или третью производную. Третья производная: f‴(x) = 24 − 36x, и f‴(0) = 24 ≠ 0, значит x = 0 — точка касания с осью инфлексии (стационарная точка инфлексии). В окрестности x = 0 функция возрастает (поскольку f′(x) = 6x^2(2 − x) > 0 при x ≠ 0 и близких к нулю).

5. Поведение графика и меры

• Рост/убыль: f′(x) = 6x^2(2 − x).
  • для x < 2, x ≠ 0: f′(x) > 0, функция возрастает;
  • для x > 2: f′(x) < 0, функция убывает.
  • при x = 0 и x = 2 производная равна нулю.
• Пределы при x → ±∞: ведущий член −(3/2)x^4 доминирует, поэтому f(x) → −∞.
• Глобальный максимум: по анализу критических точек максимум достигается в x = 2 и равен f(2) = 8.
• Глобальный минимум на всей плоскости не существует (функция стремится к −∞ при |x| → ∞).

6. Значения и графическая сводка

• Корни: x = 0 (множитель 3) и x = 8/3.
• Значения в критических точках: f(0) = 0, f(2) = 8.
• Поведение: функция возрастает на (-∞, 0) и (0, 2), достигает локального максимума в x = 2 (f = 8), после чего убывает; при x → ±∞ стремится к −∞.
• Диапазон (множество значений): (-∞, 8].

Коротко вычеркнуть итог:

• Функция f(x) = 4x^3 − 1,5x^4 имеет корни x = 0 и x = 8/3.
• Локальный максимум равен 8 при x = 2.
• В точке x = 0 касательная горизонтальна, это точка инфлексии (стационарная точка инфлексии).
• Глобальный максимум равен 8, диапазон функции: (-∞, 8].

Если хотите, могу показать график или рассмотреть конкретно задачи на график, нахождение площадей под кривой или решение подобных вопросов для других функций.