2√17

Задача: 2√17

Цель: понять (пошаговое решение и объяснения).

Шаги решения

1. Упростимость радикала

• В выражении 2√17 под радикалом 17. Число под радикалом не содержит квадратных множителей больше 1 (17 — простое число), значит радикал уже в простейшем виде.
• Следовательно, 2√17 является окончательной простой формой; эквивалентно можно записать как √68 (потому что √(4·17) = √68), но это не упрощает саму форму, просто показывает эквивалент.

2. Приближённое числовое значение

• Чтобы получить приблизительное значение, можно использовать метод Ньютона для квадратного корня из 17.

• Выберем начальное приближение x0 = 4 (поскольку 4^2 = 16, а 5^2 = 25, sqrt(17) между 4 и 5).

• Формула итераций: x_{n+1} = (x_n + 17/x_n) / 2.

  • Первая итерация: x1 = (4 + 17/4) / 2 = (4 + 4.25) / 2 = 4.125.

  • Вторая итерация: 17/4.125 ≈ 4.121212; x2 = (4.125 + 4.121212) / 2 ≈ 4.123106.

• Поэтому sqrt(17) ≈ 4.123106, и соответственно 2√17 ≈ 2 × 4.123106 ≈ 8.246212.

Итоги

• Точная форма: 2√17.
• Приближённое значение (до 6 знаков после запятой): ≈ 8.246212.