Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Определим текущую скорость спускаемого аппарата.** На высоте около 400 км скорость космического аппарата на низкой орбите Земли может…
Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Определим текущую скорость спускаемого аппарата.** На высоте около 400 км скорость космического аппарата на низкой орбите Земли может приблизительно составлять около 7.9 км/с. Мы будем использовать это значение как исходную скорость \( v_0 \). 2. **Вычислим 1% от текущей скорости.** Для уменьшения скорости на 1%: \[ \Delta v = 0.01 \cdot v_0 = 0.01 \cdot 7900 \, \text{м/с} = 79 \, \text{м/с} \] 3. **Определим массу сгоревшего топлива.** Используем закон сохранения импульса и уравнение ракетного движения, которое звучит как: \[ \Delta v = v_{e} \cdot \ln\left(\frac{m_{0}}{m_{f}}\right) \] где: - \( \Delta v \) — изменение скорости, - \( v_{e} \) — скорость истечения газов (в данном случае 3 км/с или 3000 м/с), - \( m_{0} \) — начальная масса (2900 кг), - \( m_{f} \) — конечная масса. Пусть \( m_{g} \) — масса сгоревшего топлива: \[ m_{f} = m_{0} - m_{g} \] Теперь подставим это в уравнение: \[ \Delta v = v_{e} \cdot \ln\left(\frac{m_{0}}{m_{0} - m_{g}}\right) \] Теперь можем выразить массу сгоревшего топлива: \[ 79 = 3000 \cdot \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_{g}}\right) \] 4. **Решим это уравнение для \( m_{g} \):** \[ \frac{79}{3000} = \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_{g}}\right) \] Находим значение: \[ \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_{g}}\right) \approx 0.0263 \] Теперь возводим в экспоненту: \[ \frac{2900}{2900 - m_{g}} \approx e^{0.0263} \approx 1.0267 \] Крест-накрест: \[ 2900 \approx 1.0267 \cdot (2900 - m_{g}) \] Раскроем скобки и упрощаем: \[ 2900 \approx 2900.16 - 1.0267 \cdot m_{g} \] Таким образом, мы можем выразить массу топлива: \[ 1.0267 \cdot m_{g} \approx 2900.16 - 2900, \] \[ 1.0267 \cdot m_{g} \approx 0.16, \] \[ m_{g} \approx \frac{0.16}{1.0267} \approx 0.155 \, \text{кг}. \] 5. **Округлим до десятых:** \[ m_{g} \approx 0.2 \, \text{кг}. \] Таким образом, масса сгоревшего топлива должна составить **0.2 кг**.
Давайте решим задачу пошагово и проверим расчёты.
Исходные данные
- Текущая скорость спускаемого аппарата v0 ≈ 7.9 км/с = 7900 м/с.
- Из условия: уменьшение скорости на 1% от текущей → Δv = 0.01 · v0 = 0.01 · 7900 м/с = 79 м/с.
- Скорость истечения газов ve = 3 км/с = 3000 м/с.
- Начальная масса m0 = 2900 кг.
Применяем ракетное уравнение Δv = ve · ln(m0 / mf), где mf — конечная масса после сгорания топлива. Пусть mg — масса сгоревшего топлива, тогда mf = m0 − mg.
Выразим mg через уравнение ln(m0 / (m0 − mg)) = Δv / ve Δv / ve = 79 / 3000 ≈ 0.026333...
Далее можно решить двумя эквивалентными способами:
Способ A (через mf): m0 / mf = exp(Δv / ve) ≈ exp(0.026333) ≈ 1.02668 mf = m0 / 1.02668 ≈ 2900 / 1.02668 ≈ 2827 кг mg = m0 − mf ≈ 2900 − 2827 ≈ 73 кг
Способ B (через mg напрямую): mg = m0 − m0 · exp(−Δv / ve) = m0 · [1 − exp(−0.026333)] exp(−0.026333) ≈ 0.9740 mg ≈ 2900 · (1 − 0.9740) ≈ 2900 · 0.0260 ≈ 75 кг
Разные способы дают очень близкие значения; итоговое значение примерно в диапазоне 73–75 кг. Точное значение с учётом округлений обычно около 75 кг.
- Ответ Масса сгоревшего топлива mg необходима приблизительно 75 кг (плюс-minus пара килограммов в зависимости от точности вычислений).
Комментарий к вашей попытке В вашем решении на этапе:
Вы взяли Δv/ve ≈ 0.0263 и выписали ln(2900 / (2900 − mg)) = 0.0263, затем преобразовали к 2900 / (2900 − mg) ≈ e^{0.0263} ≈ 1.0267 — что верно.
Но затем вы сотворили арифметическую ошибку: вы умножили 1.0267 на 2900 и получили примерно 2900.16. Правильное умножение даёт 1.0267 × 2900 ≈ 2977.4, а не 2900.16. Это и привело к очень маленькому mg ≈ 0.2 кг.
Правильное решение в результате даёт mg ≈ 75 кг.
