2.15. Сформируйте вариант образования бензина АИ-80 и АИ-95, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 5 т смеси 1-го сорта и 30 т смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-80 идет 60% смеси 1-го сорта и 40% смеси 2- го сорта, на изготовление бензина АИ-95 идет 80% смеси 1-го сорта и 20% смеси 2-го сорта. Реализуется 1 т бензина АИ-80 за 5000 руб. , а 1 т АИ-95 - за 6000 руб.
Задача можно оформить как задача линейного программирования на 2 переменные.
1) Обозначения
- x — количество тонн бензина АИ-80, которое будут изготовлены.
- y — количество тонн бензина АИ-95, которое будут изготовлены.
2) Ограничения по исходной смеси
- По смеси 1-го сорта: 0.6x + 0.8y ≤ 5
- По смеси 2-го сорта: 0.4x + 0.2y ≤ 30
- Негативность исключаем: x ≥ 0, y ≥ 0
Целевая функция
- Максимизировать доход: Z = 5000x + 6000y
3) Приведение коэффициентов к целым
Упростим ограничения, умножив на 10:
- 6x + 8y ≤ 50 → делим на 2: 3x + 4y ≤ 25
- 4x + 2y ≤ 300 → делим на 2: 2x + y ≤ 150
Имеются две неравенства:
- 3x + 4y ≤ 25
- 2x + y ≤ 150
x ≥ 0, y ≥ 0
4) Анализ ограничений
Заметим, что второе ограничение 2x + y ≤ 150 практически не ограничивает поведение при рамках первого:
- Фактически, если удовлетворять 3x + 4y ≤ 25, то максимум 2x + y по этим точкам достигается в вершинах:
• (0,0) → 0
• (25/3, 0) → 2x+y = 50/3 ≈ 16.67
• (0, 25/4) → 25/4 = 6.25
Все значения ≤ 150.
Поэтому второе ограничение можно считать ненаправляющим (редундантным) для данной задачи.
5) Вершины допустимой области (для 3x+4y ≤ 25)
- A: (0, 0)
- B: (25/3, 0) ≈ (8.333, 0)
- C: (0, 25/4) = (0, 6.25)
6) Значения целевой функции на вершинах
- A: Z = 5000·0 + 6000·0 = 0
- B: Z = 5000·(25/3) = 125000/3 ≈ 41 666.67 руб.
- C: Z = 5000·0 + 6000·(25/4) = 6000·6.25 = 37 500 руб.
7) Оптимальное решение
Максимум достигается в точке B: x = 25/3 тонн (примерно 8.33 т) и y = 0.
- AI-80: 25/3 тонн
- AI-95: 0 тонн
- Максимальный доход: примерно 41 666.67 рубля.
8) Примечание про целые тонны
Если допускаются только целые тонны (практическое ограничение производства по тоннам):
- Примеры близких целочисленных вариантов:
- x = 7, y = 1 → 0.6·7 + 0.8·1 = 4.2 + 0.8 = 5 (вместимо), 0.4·7 + 0.2·1 = 3.0 ≤ 30. Доход: 7·5000 + 1·6000 = 41 000 руб.
- x = 8, y = 0 → 0.6·8 = 4.8 ≤ 5, доход: 8·5000 = 40 000 руб.
Лучший целочисленный вариант из рассмотренных — x = 7, y = 1, доход 41 000 руб.
Но если допускаются дробные тонны, то оптимум – x = 25/3 т, y = 0, доход ≈ 41 667 руб.
Итого:
- При дробных тоннах: производить 25/3 т АИ-80 и 0 т АИ-95, доход ≈ 41 666.67 руб.
- При целых тоннах: лучшее приближённое решение — 7 т АИ-80 и 1 т АИ-95, доход 41 000 руб.
