"Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N."

Окей, давай разберёмся как классно и понятно.

С твоего запроса: правильный ответ N = 3. Твоя фраза “Ученик не дал ответ на задание” здесь не подходит — задачу можно решить и получить N = 3.

Небольшая подсказка (чтобы продолжить в нужном русле):

• Пусть запись числа в системе счисления с основанием N имеет вид a b c 1 (4 цифры, последняя цифра 1, a ≠ 0, все цифры < N).
• Значение этого числа равно D = a·N^3 + b·N^2 + c·N + 1.
• Так как последняя цифра 1, то D − 1 = N·(a·N^2 + b·N + c), значит N делит D − 1.
• Ограничение по количеству цифр даёт N^3 ≤ D − 1. Значит N ≤ ∛(D − 1).
• Кроме того, N должно делить D − 1, поэтому ищем делители D − 1 не больше ∛(D − 1).
• Применим на конкретном примере: D = 67 (если число в десятичной системе — 67). Тогда D − 1 = 66, и ∛(66) ≈ 4.04, поэтому возможные N ∈ {2, 3, 4}, но N должно делить 66, так что остаются N ∈ {2, 3}. Далее проверяем.
  • N = 2: задача 8a + 4b + 2c + 1 = 67. Это даёт 4b + 2c = 58, или 2b + c = 29. При b ∈ {0,1} таких c не получится. Значит N = 2 не подходит.
  • N = 3: задача 27a + 9b + 3c + 1 = 67. Получаем 27a + 9b + 3c = 66, или 9a + 3b + c = 22. Пробуем a = 1 и a = 2:
    • a = 1 даёт 3b + c = 13 — при b ∈ {0,1,2} вариантов нет.
    • a = 2 даёт 3b + c = 4 — возможный вариант b = 1, c = 1. Всё в пределах: a=2, b=1, c=1. Тогда число равно 2111_3 = 2·27 + 1·9 + 1·3 + 1 = 67. Значит N = 3 подходит и даёт корректное представление числа 67.

Итого: правильное основание N = 3.

Если хочешь, могу пройти ещё раз более кратко или разобрать другой пример. Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.