Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 7
Общая цель правила: запятая ставится для обособления определения, выраженного причастием (причастного оборота), стоящего после существительного. То есть это одна и та же пунктуационная конструкция во всех перечисленных предложениях.
Разбор по предложениям:
(1) Казань – столица Республики Татарстан – древний город с многовековой историей, расположенный на левом берегу реки Волги. Здесь есть определение, выраженное причастием расположенный (расположенный на левом берегу реки Волги), обособленное запятой после словосочетания многовековой историей.
(2) Существует несколько легенд, связанных с названием города. Придаточное определение, выраженное причастием связанных, обособлено запятой.
(3) По самой распространённой из них Казань происходит от татарского слова «казан» – котёл; легенда гласит, что город был заложен на том месте, где без огня закипела вода в котле, врытом в землю. Причастный оборот в составе "в котле, врытом в землю" обособлен запятой.
(4) Символом города, изображённым на гербе, является мифическое драконоподобное существо Зилант. Причастный оборот изображённым на гербе обособлен запятыми с обеих сторон.
(5) Казань была основана как форпост на северных границах Волжской Булгарии более 1000 лет назад – возраст города был определён во время раскопок на территории Казанского Кремля: тогда была найдена чешская монета, датированная 929–930 годами, и остатки каменной кладки и деревянной городской ограды. Причастный оборот датированная 929–930 годами обособлен запятыми.
(7) Кроме того, Казань имеет уникальный культурный код: в городе насчитывается более 1000 объектов, формирующих культурное многообразие столицы. Причастный оборот формирующих культурное многообразие столицЫ обособлен запятой.
Зачем не включено (6):
- (6) Этническое и религиозное разнообразие в столице Татарстана сохраняется не один век: в городе действуют 136 культовых объектов, из них 70 мечетей, 45 православных храмов, 5 старообрядческих культовых объектов, 13 церквей других христианских направлений, 1 синагога, молельные дома Бахаи и Кришны. Здесь запятые разделяют элементы однородного ряда в перечислении, что относится к другой пунктуационной норме (перечисление однородных членов), а не к обособлению причастного оборота.
Если нужно, могу дать краткие правила об особенностях обособления причастных оборотов и примеры из других предложений.