Варя часто гуляет со своей подружкой Леной. Но иногда ей звонит мама и говорит, что пора домой. Варя может уговорить маму дать ей погулять ещё столько же времени, сколько гуляла,…
Варя часто гуляет со своей подружкой Леной. Но иногда ей звонит мама и говорит, что пора домой. Варя может уговорить маму дать ей погулять ещё столько же времени, сколько гуляла, потому что она получила пятёрку по информатике. Мама может согласиться, а может разозлиться и сказать, чтобы Варя через 5 минут была дома. Решения мамы можно пронумеровать: 1. гуляй ещё столько же, сколько гуляла 2. через 5 минут нужно быть дома Варя и Лена до первого звонка мамы гуляли уже 2 часа. Составьте последовательность решений мамы, чтобы общее время прогулки составило 4 с половиной часа. При этом звонков должно быть ровно 5.
Классическая задача-головоломка. Рассмотрим время прогулки как число T в часах.
Дано:
- До первого звонка мама: Варя и Лена гуляли 2 часа. Значит T0 = 2.
- Есть две опции решения мамы:
- "гуляй ещё столько же, сколько гуляла" — это удвоение текущего времени: T <- 2·T.
- "через 5 минут быть дома" — прибавляем 5 минут к текущему времени: T <- T + 5 минут = T + 1/12 часа.
У нас 5 звонков, и нужно, чтобы итоговое общее время прогулки было 4,5 часа.
- Поиск решения Пусть в последовательности из 5 вызовов встречается d раз опция 1 (удвоение). Тогда после всех вызовов итоговое время T5 удовлетворяет:
- базовая часть от удвоений: 2 · 2^d = 2^{d+1}
- сумма вкладов от опции 2: (1/12) умножить на сумма коэффициентов 2^{k}, где k — количество удвоений после данного добавления.
Если d ≥ 2, то базовая часть уже как минимум 2^{3} = 8 часов, что больше 4,5, поэтому таких вариантов нет. Значит d = 0 или d = 1.
- Если d = 0: T5 = 2 + 5·(1/12) ≈ 2.4167 часов. Не подходит.
- Значит d = 1. Пусть до единственного удвоения было a добавлений (опций 2) перед ним, и после него было b добавлений, где a + b = 4.
Тогда общий результат: T5 = 2^{2} + (1/12)(2a + b) = 4 + (1/12)(a + 4).
Чтобы получить 4,5 часа, требуется (a + 4)/12 = 0,5, то есть a + 4 = 6, значит a = 2, b = 2.
Получаем единственный вариант: два добавления до удвоения, затем два добавления после удвоения. То есть последовательность действий мамы должна быть: N, N, D, N, N. Где N = “через 5 минут быть дома”, D = “гуляй ещё столько же, сколько гуляла”.
- Проверка через числа (точные дроби)
- T0 = 2
- После 1-й N: T1 = 2 + 1/12 = 25/12
- После 2-й N: T2 = 25/12 + 1/12 = 26/12 = 13/6
- После D: T3 = 2 · (13/6) = 13/3
- После 4-й N: T4 = 13/3 + 1/12 = 53/12
- После 5-й N: T5 = 53/12 + 1/12 = 54/12 = 9/2 = 4,5
Итого: все условия соблюдены — 5 звонков, итог 4,5 часа, до первого звонка — 2 часа.
- Ответ Заданную последовательность решений мамы можно записать так: 2, 2, 1, 2, 2 где 1 = "гуляй ещё столько же, сколько гуляла", 2 = "через 5 минут нужно быть дома".
Пояснение: сначала две паузы по 5 минут каждая, затем удвоение, затем ещё две паузы по 5 минут, что в сумме даёт 4,5 часа.
