Условие: В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за точку C отметили точку D так, что BC=CD. Известно, что ∠ABD=105°, ∠ACB=40°. Найдите неизвестные углы треугольника ABC.

Решение Даны: ∠ACB = 40°, D лежит на продолжении AC за C, и CD = BC. Также ∠ABD = 105°. 1) Рассмотрим треугольник BCD. Так как BC = CD, этот треугольник равнобедренный и углы при основаниях равны: ∠CBD = ∠BDC. 2) Найдём угол ∠BCD. Поскольку CD лежит на той же прямой, что и CA, но в противоположном направлении, угол между BC и CD равен 180° − ∠ACB. Значит ∠BCD = 180° − 40° = 140°. 3) В треугольнике BCD сумма углов равна 180°, и ∠CBD = ∠BDC. Тогда 2·∠CBD + 140° = 180° ∠CBD = (180° − 140°)/2 = 20°. Следовательно ∠CBD = 20°. 4) Угол ∠ABD состоит из двух частей: ∠ABC и ∠CBD (потому что BD образует углы с AB через BC). Значит ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = β + 20°, где β = ∠ABC. По условию ∠ABD = 105°, поэтому β + 20° = 105° → β = 85°. 5) Тогда ∠A = α = 180° − β − ∠C = 180° − 85° − 40° = 55°. Ответ: - ∠A = 55° - ∠B = 85° - ∠C = 40°