Ребро куба KLMNK1 L1 M1 N1 равно 18. На ребрах NM и LL1 отмечены точки A и B соответственно, причем NA = 6, L1B = 4,5. Плоскость ABK пересекает ребро MM1 в точке C.
а) Докажите, что CM = CM1 .
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости ABK.
Решение (пошагово, с пояснениями)
Дано: куб K L M N K1 L1 M1 N1, ребро куба равно 18.
- NM — нижнее ребро, на NM точка A с NA = 6.
- LL1 — вертикальное ребро, на нем точка B с L1B = 4,5.
- Плоскость ABK пересекает ребро MM1 в точке C.
Цель: (а) показать CM = CM1; (б) найти расстояние от точки M до плоскости ABK.
1) Ввод координат (выбираем удобную систему)
Пусть нижний квадрат имеет вершины:
K = (0,0,0), L = (18,0,0), M = (18,18,0), N = (0,18,0);
верхний квадрат: K1 = (0,0,18), L1 = (18,0,18), M1 = (18,18,18), N1 = (0,18,18).
Из условия:
- A лежит на NM и NA = 6. NM идёт по оси x от N(0,18,0) к M(18,18,0). Значит A = (6, 18, 0).
- B лежит на LL1 и L1B = 4,5. LL1 идёт по оси z от L(18,0,0) к L1(18,0,18). B находится ниже L1 на 4,5: B = (18, 0, 18 − 4,5) = (18, 0, 13,5).
- K = (0,0,0).
2) Уравнение плоскости ABK
Вектор AB = B − A = (18−6, 0−18, 13,5−0) = (12, −18, 13,5).
Вектор AK = K − A = (0−6, 0−18, 0−0) = (−6, −18, 0).
Нормаль плоскости ABK есть вектор произведения AB × AK:
AB × AK = (243, −81, −324) суммарно можно уменьшить до (3, −1, −4).
Поэтому уравнение плоскости ABK можно записать в виде:
3x − y − 4z = 0.
(Uравнение можно получить, подставляя любую из трёх вершин A, B, K; проверка подтверждает верность.)
3) Точка C на MM1, принадлежащая плоскости ABK
Параметризуем MM1: M = (18,18,0) и M1 = (18,18,18). Любая точка на MM1 имеет вид (18, 18, t), где t ∈ [0,18].
Подстановка в уравнение плоскости: 3·18 − 18 − 4t = 0 → 54 − 18 − 4t = 0 → 36 − 4t = 0 → t = 9.
Следовательно, C = (18, 18, 9).
Теперь сравним расстояния вдоль ребра MM1:
- CM = расстояние от M(18,18,0) до C(18,18,9) = 9.
- CM1 = расстояние от C до M1(18,18,18) = 18 − 9 = 9.
Отсюда CM = CM1. Значит точка C — центр отрезка MM1, как и требовалось.
4) Расстояние от M до плоскости ABK
Расстояние от точки M до плоскости ABK по формуле расстояния от точки до плоскости ax+by+cz+d=0 равно |ax0+by0+cz0+d| / √(a^2+b^2+c^2).
Здесь плоскость ABK задана как 3x − y − 4z = 0, т. е. a=3, b=−1, c=−4, d=0. Точка M имеет координаты (18, 18, 0).
Расстояние:
d(M, ABK) = |3·18 − 1·18 − 4·0| / √(3^2 + (−1)^2 + (−4)^2)
= |54 − 18| / √(9 + 1 + 16)
= 36 / √26
= (18√26)/13.
Ответы:
а) CM = CM1 (точка C находится на середине отрезка MM1, z = 9);
б) расстояние от точки M до плоскости ABK равно 36/√26 = (18√26)/13.
