Задание 1 (15 баллов). Три моряка увидели вдалеке остров. — На этом острове больше 100 обезьян! — закричал первый. — Нет, обезьян на острове меньше 100, — ответил ему второй. — Ну одна-то обезьяна точно есть, — сказал третий. Когда они подплыли к острову, оказалось, что только один из них был прав. Сколько обезьян на острове могло быть? Задание 2 (20 баллов). Какие из следующих высказываний истинные, а какие — ложные? Для обоснования ответа в каждом пункте приведите пример или контрпример. а) «Каждое чётное число оканчивается цифрой 0 или цифрой 2» (5 баллов). б) «Среди двузначных чисел, кратных числу 6, найдётся число, кратное числу 4» (5 баллов). в) «В паре смежных углов всегда один угол острый, а другой — тупой» (5 баллов). г) «Существует треугольник с периметром, равным 16 сантиметрам» (5 баллов). Задание 3 (20 баллов). Постройте отрицание утверждения: а) «Число 170 делится на 9» (5 баллов). б) «Существует число, которое является решением уравнения 6x + 2 = 2(3x – 4)» (5 баллов). в) «Во всех месяцах года количество дней больше 30» (5 баллов). г) «При бросании игрального кубика выпало менее 4 очков» (5 баллов). Задание 4 (20 баллов). Если принц встречает дракона, то принц вступает в бой. а) Составьте к этому высказыванию обратное, противоположное и противоположное обратному (10 баллов). б) Известно, что принц вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона (5 баллов)? в) Принц не вступал в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона (5 баллов)? Задание 5 (25 баллов). В коробке лежит по 20 шариков каждого из трёх цветов: красного, синего и белого. Используя метод доказательства от противного, докажите, что если наугад достать из коробки 7 шариков, то хотя бы три из них обязательно будут одного цвета.

Здорово! Ниже подробные решения по каждому заданию. Я придерживаюсь школьного уровня и объясняю шаги. Задача 1 (15 баллов) Установим количество обезьян n. Пусть A: n > 100, B: n < 100, C: n ≥ 1 (то есть “есть хотя бы одна обезьяна”). Из условия только один из трёх утверждений истинен. Рассмотрим варианты: - n > 100: A истинно, B ложно, C истинно → две истины. Неправильно. - n = 100: A ложно, B ложно, C истинно → ровно одна истина. Подходит. - n < 100 (и n ≥ 1): B истинно, A ложно, C истинно → две истины. Неправильно. - n = 0 (если рассматривать возможное отсутствие обезьян): A ложно, B ложь, C ложь → ноль истин. Неподходит. Единственно подходящее значение: n = 100. Ответ: на острове могло быть 100 обезьян. Задача 2 (20 баллов) Утверждения и примеры/контрпримеры. а) «Каждое чётное число оканчивается цифрой 0 или цифрой 2». - Ответ: Ложно. - Контрпример: число 14 оканчивается на 4, но не на 0 или 2. - Примечание: есть чётные числа, оканчивающиеся на 4, 6, 8 и т. п. б) «Среди двузначных чисел, кратных числу 6, найдётся число, кратное числу 4». - Ответ: Верно. - Пример: 24 — двузначное и кратно 6, и кратно 4. Аналогично 48, 72, 96 и т. п. в) «В паре смежных углов всегда один угол острый, а другой — тупой». - Ответ: Ложно. - Контрпример: две прямые, перпендикулярные друг другу, образуют два смежных угла по 90°. Они не являются ни острыми, ни тупыми (это прямые углы). - Примечание: в общем случае смежные углы суммируются до 180°, поэтому если один острый (<90), другой будет тупой (>90); но возможно и равные 90°, если углы — прямые. г) «Существует треугольник с периметром, равным 16 сантиметрам». - Ответ: Верно. - Пример: треугольник со сторонами 5, 5, 6 имеет периметр 16. (Сумма сторон равна 16; треугольник существует, так как 5+5>6 и т. д.) Задача 3 (20 баллов) Постройте отрицания утверждений. а) «Число 170 делится на 9». - Отрицание: «Число 170 не делится на 9». - Прямая проверка: 170 ÷ 9 = 18,888… не целое, значит не делится. б) «Существует число, которое является решением уравнения 6x + 2 = 2(3x – 4)». - Отрицание: «Не существует такого числа x, которое бы удовлетворяло уравнению 6x + 2 = 2(3x – 4)» (то есть уравнение не имеет решений). - Примечание: решение уравнения даёт противоречие: 6x+2 = 6x-8 → 2 = -8, противоречие, следовательно решений нет. в) «Во всех месяцах года количество дней больше 30». - Отрицание: «Существует месяц, в котором количество дней не больше 30» (≤ 30). - Пример: февраль имеет 28 или 29 дней, т. е. ≤ 30. г) «При бросании игрального кубика выпало менее 4 очков». - Отрицание: «Выпало 4 или более очков» (≥ 4). - Пример: выпало 4, 5 или 6. Задача 4 (20 баллов) а) Обратное, противоположное и противоположно обратному высказыванию к «Если принц встречает дракона, то принц вступает в бой». - Исходное: P — принц встречает дракона; Q — принц вступает в бой. - Обратное (converse): Если принц вступил в бой, то он встретил дракона. (Q → P) - Противоположное (inverse): Если принц не встретил дракона, то он не вступал в бой. (¬P → ¬Q) - Противоположное обратному (contrapositive): Если принц не вступал в бой, то он не встретил дракона. (¬Q → ¬P) б) Известно, что принц вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона? - Нет. Из P → Q не следует Q → P. Он мог вступить в бой по другой причине или по ошибке в предпосылке; необходимы дополнительные данные. в) Принц не вступал в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона? - Да. По contrapositive к исходному утверждению: если не вступал в бой, то не встречал дракона. То есть ¬Q → ¬P верно в рамках данной импликации. Задача 5 (25 баллов) Доказательство от противного: докажем, что при случайном взятии из коробки 7 шариков, хотя бы три будут одного цвета. - Пусть существует розыгрыш из 7 шариков, в котором не встретится три шара одного цвета. Это означает, что каждый цвет встречается не более чем по 2 шара. - В коробке три цвета: красный, синий, белый; максимум шариков каждого цвета в нашем теоретическом взятии по условию — 2. - Тогда максимально возможное число взятых шариков без того, чтобы кто-то встречался трижды, равно 2 + 2 + 2 = 6. - Но мы взяли 7 шариков. Противоречие: не может быть, чтобы ни одного цвета не встречалось трижды. Следовательно, хотя бы три шарика одного цвета обязательно окажутся в выборке. Следствие: из коробки с по 20 шариков каждого цвета при выборе 7 шариков обязательно получится минимум одна тройка шариков одного цвета. Если нужно, могу привести краткий конспект формальных доказательств по каждому пункту или разобрать любые варианты примеров.