Задание 1 (15 баллов). Три моряка увидели вдалеке остров. — На этом острове больше 100 обезьян! — закричал первый. — Нет, обезьян на острове меньше 100, — ответил ему второй. — Ну…

Здорово! Ниже подробные решения по каждому заданию. Я придерживаюсь школьного уровня и объясняю шаги.

Задача 1 (15 баллов) Установим количество обезьян n. Пусть A: n > 100, B: n < 100, C: n ≥ 1 (то есть “есть хотя бы одна обезьяна”). Из условия только один из трёх утверждений истинен.

Рассмотрим варианты:

• n > 100: A истинно, B ложно, C истинно → две истины. Неправильно.
• n = 100: A ложно, B ложно, C истинно → ровно одна истина. Подходит.
• n < 100 (и n ≥ 1): B истинно, A ложно, C истинно → две истины. Неправильно.
• n = 0 (если рассматривать возможное отсутствие обезьян): A ложно, B ложь, C ложь → ноль истин. Неподходит.

Единственно подходящее значение: n = 100.

Ответ: на острове могло быть 100 обезьян.

Задача 2 (20 баллов) Утверждения и примеры/контрпримеры.

а) «Каждое чётное число оканчивается цифрой 0 или цифрой 2».

• Ответ: Ложно.
• Контрпример: число 14 оканчивается на 4, но не на 0 или 2.
• Примечание: есть чётные числа, оканчивающиеся на 4, 6, 8 и т. п.

б) «Среди двузначных чисел, кратных числу 6, найдётся число, кратное числу 4».

• Ответ: Верно.
• Пример: 24 — двузначное и кратно 6, и кратно 4. Аналогично 48, 72, 96 и т. п.

в) «В паре смежных углов всегда один угол острый, а другой — тупой».

• Ответ: Ложно.
• Контрпример: две прямые, перпендикулярные друг другу, образуют два смежных угла по 90°. Они не являются ни острыми, ни тупыми (это прямые углы).
• Примечание: в общем случае смежные углы суммируются до 180°, поэтому если один острый (<90), другой будет тупой (>90); но возможно и равные 90°, если углы — прямые.

г) «Существует треугольник с периметром, равным 16 сантиметрам».

• Ответ: Верно.
• Пример: треугольник со сторонами 5, 5, 6 имеет периметр 16. (Сумма сторон равна 16; треугольник существует, так как 5+5>6 и т. д.)

Задача 3 (20 баллов) Постройте отрицания утверждений.

а) «Число 170 делится на 9».

• Отрицание: «Число 170 не делится на 9».
• Прямая проверка: 170 ÷ 9 = 18,888… не целое, значит не делится.

б) «Существует число, которое является решением уравнения 6x + 2 = 2(3x – 4)».

• Отрицание: «Не существует такого числа x, которое бы удовлетворяло уравнению 6x + 2 = 2(3x – 4)» (то есть уравнение не имеет решений).
• Примечание: решение уравнения даёт противоречие: 6x+2 = 6x-8 → 2 = -8, противоречие, следовательно решений нет.

в) «Во всех месяцах года количество дней больше 30».

• Отрицание: «Существует месяц, в котором количество дней не больше 30» (≤ 30).
• Пример: февраль имеет 28 или 29 дней, т. е. ≤ 30.

г) «При бросании игрального кубика выпало менее 4 очков».

• Отрицание: «Выпало 4 или более очков» (≥ 4).
• Пример: выпало 4, 5 или 6.

Задача 4 (20 баллов) а) Обратное, противоположное и противоположно обратному высказыванию к «Если принц встречает дракона, то принц вступает в бой».

• Исходное: P — принц встречает дракона; Q — принц вступает в бой.
• Обратное (converse): Если принц вступил в бой, то он встретил дракона. (Q → P)
• Противоположное (inverse): Если принц не встретил дракона, то он не вступал в бой. (¬P → ¬Q)
• Противоположное обратному (contrapositive): Если принц не вступал в бой, то он не встретил дракона. (¬Q → ¬P)

б) Известно, что принц вступил в бой. Означает ли это, что он встретил дракона?

• Нет. Из P → Q не следует Q → P. Он мог вступить в бой по другой причине или по ошибке в предпосылке; необходимы дополнительные данные.

в) Принц не вступал в бой. Означает ли это, что он не встретил дракона?

• Да. По contrapositive к исходному утверждению: если не вступал в бой, то не встречал дракона. То есть ¬Q → ¬P верно в рамках данной импликации.

Задача 5 (25 баллов) Доказательство от противного: докажем, что при случайном взятии из коробки 7 шариков, хотя бы три будут одного цвета.

• Пусть существует розыгрыш из 7 шариков, в котором не встретится три шара одного цвета. Это означает, что каждый цвет встречается не более чем по 2 шара.
• В коробке три цвета: красный, синий, белый; максимум шариков каждого цвета в нашем теоретическом взятии по условию — 2.
• Тогда максимально возможное число взятых шариков без того, чтобы кто-то встречался трижды, равно 2 + 2 + 2 = 6.
• Но мы взяли 7 шариков. Противоречие: не может быть, чтобы ни одного цвета не встречалось трижды. Следовательно, хотя бы три шарика одного цвета обязательно окажутся в выборке.

Следствие: из коробки с по 20 шариков каждого цвета при выборе 7 шариков обязательно получится минимум одна тройка шариков одного цвета.

Если нужно, могу привести краткий конспект формальных доказательств по каждому пункту или разобрать любые варианты примеров.