Сечение, перпендикулярное к радиусу шара, делит этот радиус пополам. Площадь поверхности шара равна 144πсм 2 . Найдите объём большего шарового сегмента, отсекаемого от шара
Задача по геометрии шаров и шаровых сегментов.
Дано: площадь поверхности шара S = 144π см². Это означает радиус шара R: 4πR² = 144π ⇒ R² = 36 ⇒ R = 6 см.
Условия задачи говорят: секущая плоскость перпендикулярна радиусу и делит этот радиус пополам. Пусть радиус OA длины R, а плоскость пересекает его в середине M. Тогда OM = R/2, то есть расстояние от центра O до секущей плоскости d = R/2.
Радиус окружности сечения (круг на плоскости пересечения) имеет радиус a² = R² − d² = R² − (R/2)² = R² − R²/4 = (3/4)R², отсюда a = (R/2)√3.
Плоскость делит шар на два сферических сегмента (каппы) высоты h1 и h2 относительно этой плоскости:
- верхняя (со стороны точки A): h1 = R − d = R − R/2 = R/2,
- нижняя (больший сегмент): h2 = R + d = R + R/2 = 3R/2.
Нам нужен объём большего шарового сегмента (каппы) с высотой h = h2 = 3R/2.
Объём сферического капа высотой h для шара радиуса R равен V = (1/3)πh²(3R − h).
Подставим h = 3R/2: V_large = (1/3)π( (3R/2)² ) (3R − 3R/2) = (1/3)π(9R²/4)(3R/2) = (9/8)πR³.
- Теперь подставим найденный радиус R = 6 см: V_large = (9/8)π(6)³ = (9/8)π·216 = 243π см³.
Ответ: объём большего шарового сегмента равен 243π см³ (примерно 763 см³).
